Re: [問題] 淋雨的問題

[kramnik (progressive)]

※ 引述《sympa (sympa)》之銘言：
: 如果有一天在街上走著走著突然下起雨來
: 請問用走的和用跑的回家，身體淋到雨的總量哪個會比較多呢？
: 哪個身體的淋濕程度較濕呢？
: 可否順便證明一下呢
: 謝謝


相對於地面座標系..雨滴為垂直下落..

設人在x軸上移動的速度為v1..雨滴下落速度為v2..下落角度與x軸的夾角為θ..

如右圖  http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kramnik1&b=33&f=1014091051&p=0



分別以[單純長方體]及[球型+長方體]來粗糙近似人型..

得到的結果皆是跑越快..淋溼程度較低..



以下是推導

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相對於雨滴運動座標系..如下圖
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kramnik1&b=33&f=1014091052&p=1


令合成速度為v3..則

v3 = (v1^2 + v2^2)^(1/2)


淋溼程度相當於物體於相對靜止的雨幕中所劃過的體積..如下圖
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kramnik1&b=33&f=1014091053&p=2
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kramnik1&b=33&f=1014091054&p=3


設人與目的地距離為L..即在雨中移動的時間為(L/v1)


雨幕中所劃過的體積 = 垂直v3方向的截面積 * v3 *(L/v1)

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以前後寬a..左右寬b..高c的長方體來近似人型..

則垂直v3方向的截面積 A(v1) ≒ b*[a*(v2/v3) + c*(v1/v3)]


所以

雨幕中所劃過的體積 = 垂直v3方向的截面積 * v3 *(L/v1)

                   = b*[a*(v2/v3) + c*(v1/v3)] * v3 * (L/v1)

                   = b*L*[a*(v2/v1) + c]


可知v1越大..淋溼程度越低..

即跑得越快..淋溼程度越低..

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以半徑r的球體近似人頭..

前後寬a..左右寬b..高c的長方體來近似人身..

長方體上半部近似被球體完全遮住..

則垂直v3方向的截面積 A(v1) ≒ π*r^2 + b*c*(v1/v3)


雨幕中所劃過的體積 = 垂直v3方向的截面積 * v3 *(L/v1)

                   = [π*r^2 + b*c*(v1/v3)] * v3 * (L/v1)

                   = L*[π*r^2*(v3/v1) + b*c]

                   = L*[π*r^2*(1+v2^2/v1^2)^(1/2) + b*c]


可知v1越大..淋溼程度越低..

即跑得越快..淋溼程度越低..



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◆ From: 163.15.65.104
→ rpfeynman:垂直你的截面積兩個部分的都取錯了
→ rpfeynman:對不起我看錯了@@體積方面沒算錯
→ rpfeynman:重點在v2以及v1的比值你要分大於、小於、等於討論
→ kramnik:不需要..因為變數只有v1..v1→∞為全可能區域極小值..
→ kramnik:在簡化的人體模型中..跑越快..淋溼程度會越低..
→ kramnik::)