推 kuromu:好文 01/18 21:13
推 tatty:挖 把光學課本的式子都導出來了QQ 好威 01/18 21:31
※ 編輯: kramnik 來自: 118.168.87.185 (01/22 21:34)
→ h888512:強者...... 01/23 13:11
※ 引述《Light3000 (水瓶流星^o^)》之銘言：
: 在紅光的傳播速率最快(有介質時)
: 這是基礎物理的東西...
: 可是高中老師幾乎要我們背起來...
: 但要怎麼去解釋呢??
: 另外在真空中,是不是各種光的速率都一樣呢?
: 感恩~
因為介質的介電係數是ω的函數..以下用古典模型來詮釋..
設一原子核帶電量為Q，電子帶電量為q，電子軌道半徑為r，其間的電場為E，
則電子受的力為
q*E =q* (1/4πε)*Q*q/r^2
假設外來一電場E’，則在在電場E’方向的半徑長變化Δr，
產生ΔE來抵消此外來電場，來達成淨力平衡
q*(E+ΔE) = q* (1/4πε0)*Q*q / (r+Δr)^2
= q* (1/4πε0)*Q*q / r^2*[1+(Δr/r)]^2
≒ [q* (1/4πε0)*Q*q / r^2]*[1-(2/r)*Δr] …因r>>Δr
= q*E + q*q*(1/ε0)*k*r …………………令k為比例常數
淨力平衡 q*E’ = q*ΔE = q^2*(1/ε0)*k*r
我們可以用一個諧振子形式來比擬，令K = q*(1/ε0)*k
我們考慮一動電場E’，其震盪頻率為w，我們可以用E’(t) = E’*e^iwt來表示
靜力平衡：m*δ^r/δt^2 + K*r = q * E’*e^iwt
解上述微分方程式，我們可以得到
r = (q*E’/m)/[(K/m) – w^2]*e^iwt
令p為電偶極距，令α=1/(k-m*ε0*w^2/q)，則
p = q*r =q*(q*E’/m)/[(K/m) – w^2] = α*ε0*E’
設單位體積內有N的電子，另單位體積的偶極距為P，則
P = N*p = N*α*ε0*E’…………………………………………………..(1)
設原子是屬於電中性的均勻球體，一外加電場使其球狀電子雲產生一Δd的位移，
因此產生一偶極距P
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kramnik1&b=1&f=1476053224&p=10
我們計算一下內部的感應電場強度和方向，用等效的疊加定律來避開繁雜的積分，
首先我們知道實心的均勻帶電球體，若其體電荷密度為ρ，
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kramnik1&b=1&f=1476053225&p=11
則其單位體積電偶極距及內部感應電場表示式為
P = Q球體*d↑ / 球體體積
= [(4/3)*π*r^3*ρ] * d↑ / [(4/3)*π*r^3]
=ρ* d↑ ………………………(2)
E↑單一球體內部感應 = Q球體*r↑/ [4*π*ε0*r^2]
= [(4/3)*π*r^2*ρ]*r↑ / [4*π*ε0*r^2]
= ρ*r↑ / 3ε0
E↑兩疊加球體內部感應 =ρ*r紅↑ / 3ε0 +ρ*r藍↑ / 3ε0
=ρ*d ↑/ 3ε0 ……………………………(3)
由(2)(3)式知
E內部感應電場 = P/3ε0
假設觀測者測得的介質電場強度為[E觀測]，原子實際接受到的電場強度為[E外部]，
原子感應產生的內部電場為[E內部]，感應產生的單位體積電偶極距為P，可知
E觀測 = E外部 + E內部 = E外部 + P/3ε0
所以 E外部 = E觀測 + P/3ε0 ……..(4)
(4)式代入(2)式知
P = N*α*ε0*E外部
= N*α*ε0*(E + P/3ε0)
所以P = N*α*E*ε0 / [1-( N*α)/3]
令x為電極化率(electric susceptibility)，
則 x = N*α / [1-( N*α)/3]
ε = (1+x )*ε0 =ε0*{1+ N*α / [1-( N*α)/3]}
對於一般介質而言，N*α<<1，所以
ε = ε0*[1+ (4/3)*N*α]
n =[(ε*μ)/ (ε0*μ0)]^(1/2)
= [1+ (4/3)*N*α]^(1/2) …………….一般介質其μ=μ0
= [1+ (4/3)*N*(k - m*ε0*w^2/q)]^(-1/2)
≒1+ (4/3)*(N*q/m*ε0 )*(k*q/m*ε0 - w^2)^(-1/2)………在w不大的情況下
我們可以看出在k> m*ε0*w^2/q的情況下，頻率w越大，折射率n也越大。
下圖為介值為玻璃時，光線之波長與折射率之關係圖
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kramnik1&b=1&f=1476053226&p=12
在虛數部k→0時，其之間的關係可以寫成如下型式
n^2(λ) = 1 + sigma{Bn*λ^2/(λ^2-Cn)}
= 1 + sigma{(Bn*C^2/Cn)*[(c^2/Cn) – w^2]^(-1)} ……c為光速
…………………………………………………………………..Sellmeier equation
舉個硼矽酸玻璃的例子，其折射率可表示為如下的形式
n^2(λ) = 1+ [B1*λ^2/(λ^2-C1)]+ [B2*λ^2/(λ^2-C2)]+ [B3*λ^2/(λ^2-C3)]
Coefficient Value
B1 1.03961212
B2 2.31792344*10^(-1)
B3 1.01046945
C1 6.00069867*10^(-3) μm2
C2 2.00179144*10^(-2) μm2
C3 1.03560653*10^2 μm2
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