推 iyenn:推用心! 01/19 20:08
※ 引述《pap641217 (Plain&AttractivePhysics)》之銘言：
: (1) 有一金屬球接地，半徑為R，有Q電荷由外部接近至距球表面R時
: 達靜電平衡後， 求金屬球上總感應電荷量為多少？？
: 答案為何是 -Q/2 呢？
: 請問這題要如何思考？ 金屬球接地與否 是否答案一樣呢？
: (2) 不帶電的孤立金屬導體球,為何在 一帶正電物接近時,金屬導體球電位會升高??
: 一帶負電物接近時,金屬導體球電位會降低??
: 可以用中學物理程度解釋理由嗎？
若金屬球上感應電荷Q可以表示為映像點電荷qr..
根據對稱性質..映像點電荷qr必處於球心與外部點電荷qi連線之間..
如下圖所示..
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kramnik1&b=33&f=1014096129&p=5
其滿足
淨力平衡狀態下..接地金屬表面為等電位面且電位值為0..
qi/y + qr/x = 0
=> y/x = -qi/qr = constant ....................(a)
幾何餘弦定理說明
a^2 + z^2 - 2*a*z*cosθ = x^2 .................(b)
a^2 + b^2 - 2*a*b*cosθ = y^2 .................(c)
將(b)(c)兩式相除..且須滿足(a)式..
由於 a,b,z = constant..所以
(a^2 + z^2)/(a^2 + b^2) = z/b
解得
z = a^2/b 或 b (不合)
代入(a)式可得
qr = -(a/b)*qi
Poisson's equation說明..
在無電荷空間中..若給定此空間中封閉表面上的電位分布..
其解滿足唯一性..
proof:http://www.wretch.cc/blog/kramnik1/13756405
因此映像電荷在金屬球外造成的電位分布..
會與實際金屬球表面電荷在金屬球外造成的電位分布會一致..
因此兩者對於球殼以外的空間為等效..
用高斯定理..將金屬球殼以一封閉表面包住..
對於映像電荷..其滿足∫(enclosed surface) ε0*(-▽v)*δs = ρ = qr
對於實際金屬球表面電荷分步..可知金屬球表面總電荷亦為qr..
對於一不接地之金屬球..我們可以額外添加適當且均勻分布的面電荷值..
其滿足金屬表面為等電位面的條件..並且滿足電荷量守恆原則..
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由此可知
第一題之解為
若金屬接地..設其表面總電荷為A..則
A = qr = -[R/(2*R)]*Q = -Q/2
若金屬不接地..由於電荷量守恆原則..
其表面總電荷為0
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第二題之解釋為
若金屬接地..則表面電位為0..
若如題..情況為孤立金屬球..
要滿足電荷量守恆..其表面需額外總電荷Q均勻分布
套用右圖..http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kramnik1&b=33&f=1014096129&p=5
可知
Q = -qr = (a/b)qi
由於均勻分布..其電位為
V(surface) = Q/R = (a/b)*(qi/R)
所以當qi為正值時..球殼電位為正..
當外部電荷接近..b值↓..球殼電位↑..
反之則反..
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※ 編輯: kramnik 來自: 118.168.85.162 (01/19 17:50)