推 Beachboy:多謝k大,我找時間親自演算一次 01/20 21:45
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言：
: 在算一道普物的題目
: 題目是這樣的情況：
: 有一向+x的電場E，和一向+y的磁場B
^^^
我想您的意思應該是+z
: 一正電荷q，由原點靜止開始運動。
: 根據分析，此電荷會在xy平面上進行一種稱為擺線的曲線運動。
: 且在最高點時，曲率半徑為當時y座標的兩倍，即r=2y，y為最高點的位置。
: 題目大概就這樣敘述。
: 我想證明曲率半徑那件事，但是想半天無頭緒，想問問看這要怎麼證明？
軌跡方程式
x = [|E|/(|B|*w)]*[1-cos(w*t)]
y = - (|E|/|B|)*t + [|E|/(|B|*w)]*sin(w*t)
其中 w = q*|B|/m
================================================================
proof :
根據Lorentz force
m*(δ^2x/δt^2) = q*[|E| + (δy/δt)*|B| .............(a)
m*(δ^2y/δt^2) = - q*(δx/δt)*|B| .................(b)
(a)式做t的微分..
m*(δ^3x/δt^3) = q*(δ^2y/δt^2)*|B|
(b)代入上式
(δ^3x/δt^3) = -(q*|B|/m)^2*(δx/δt)
解得
(δx/δt) = A1*sin(w*t) + A2*cos(w*t) ,其中w = (q*|B|/m)..A1,A2 = constant
代入initial condition..可得
A2 = 0
所以
(δx/δt) = A1*sin(w*t)
上式代入(a)式..可得
(δy/δt) = -|E|/|B| + m*A1*w*cos(w*t)/q*B
代入initial condition..可得
A1 = |E|/|B|
所以
(δx/δt) = (|E|/|B|)*sin(w*t)
(δy/δt) = (|E|/|B|)*[-1+cos(w*t)]
對上兩式作t的積分
x = A3 –[|E|/(|B|*w)*cos(w*t)
y = A4 - (|E|/|B|)*t + [|E|/(|B|*w)*sin(w*t)]
將initial condition代入..解得
A3 = m*|E|/(q*|B|^2)
A4 = 0
所以
x = [m*|E|/(q*|B|^2)]*[1-cos(w*t)]
y = - (|E|/|B|)*t + [m*|E|/(q*|B|^2)]*sin(w*t)
=====================================================================
根據題意..最高處為x(max)..
x(max) = 2*[|E|/(|B|*w)]
最高處之速度為
(δy/δt) |[x = x(max)] = -2*|E|/|B|
最高處之加速度為
(δx^2/δt^2) |[x = x(max)] = (-|E|*w/|B|)
設曲率半徑為R..則
R |[x = x(max)] = (δy/δt)^2/(δx^2/δt^2) |[x = x(max)]
= 4*|E|/(|B|*w)
= 2*x(max) ......................得証
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