作者Emcc (mass, momentum, energy)
看板Physics
標題Re: [問題] 請教 Green's Function 用在 PDE 的概念？
時間Thu Jan 28 22:32:34 2010
: 解 PDE 除了 eigenfunction 的方法, 還可以用 Green's Function
: 2
: ex. ▽ u = Q st. u = f (r) , δu/δn = g (r)
^^^^^^^^^
Poisson's eqn.
這個方程式 除了你提的inhomogeneous 這項特性之外
還有一個重點 就是它是"線性"的 (
linear)
Poisson's eqn. 代表的物理意義
就是一個有input/output的擴散系統
inhomogeneous term, Q(r) 就是系統外來的input
所要求解的u(r) 就是系統對這個input Q(r) 所產生的"響應"(response)
就我熟悉的熱傳學來舉例
Q(r)就是一個熱源, heat source
u(r)就是物質因為熱源 所形成的溫度場T
Laplacian operator ▽^2
在物理上代表一個很重要的特性
就是"擴散"
這家伙很有意思
它喜歡"齊頭式的平等"
也就是 你高 它把你壓下來
你矮 它把你拉上去
至於為什麼 溫度場的擴散 ▽^2[u(r)] 會等於熱源Q(r)
中間那個"等號" 為何能成立?
那是因為物理性質的 "守恆定律"
以熱傳的例子來說
這個方程式的意義為 "能量的守恆"
同樣的Poisson's eqn. 在電磁學裡
Q(r)為電荷密度
u(r)為 electric potential field
方程式代表 "電位的擴散"
(電磁的部分小弟沒有很熟 還請指正)
現在回到PDE的 Green's function解法
如果今天對一物理系統
施以一個"脈衝"(impulse input) 在一點r0
即 δ(r-r0)
則滿足Poisson's eqn.的系統對這個 impulse所產生的響應
就是它的Green's function
"系統對某一點 r0 的input 在另一點 r 所造成的響應" 為G(r,r0) r≠r0
滿足governing eqn.
=> ▽^2[G(r,r0)] = δ(r-r0)
重點來了
如果impulse input不只發生在一點
而是數個點
那麼系統會如何響應?
"因為Poisson's eqn.是線性的"
線性的好處是可以疊加(superposition)
所以對所有impulse input的點作疊加 ∫ [Q(r0)．δ(r-r0)] d(r0) = Q(r)
其響應為 ∫ [Q(r0)．G(r,r0)] dr0 = u(r)
當然
Poisson's eqn. 只是最基本的Green's function方法求解DE的例子
其他還有更複雜的PDE或是ODE
但是Green's function的基本精神就是這樣
"線性 所以可疊加"
另外有BC存在
系統的響應也會受BC影響
那就是你寫的後面那項了
: 解法就是視 nonhomogeneous term Q 與 boundary conditions 為許多離散點
: 而這些離散點影響著 u
: 離散點（ Free Space Green's Function ）定義為：
: 2
: ▽ G ( r,r0 ) = delta ( r-r0 )
: 使用 Green's second identity 可以導出
: u (r) =
: δG δu
: ∫ G(r,r0)．Q(r0)．dV(r0) + ∫ [ u(r1)．——(r,r1) - G(r,r1)——．(r1) ] dS(r1)
: V S δn δn
: source boundary conditions
: 而且可求出 G(r) = -1/4π(r-r0), for r =/= r0
: ----------------------------------------------------------------------------
: 問題來了, 我們可以觀察出 u 受到 Q 和 BCs 兩者的影響
: 可是：
: 2
: 1) 為何 ▽ G 會 model 成 delta function ,而非 ▽G 或 G
: 有實際的物理系統可以輔助理解嗎？
: 可以解釋 G 和 Q 交互作用, u 和 G'作用, G 和 u'負作用, 三者合起來影響 u 嗎?
: 2) G 如果是正比 (1/r), 用一維的例子來看, G' 長怎樣呢?
: G''又會是delta function 嗎? 原點外的其他點的二階微分不是零啊?
: 可以用一維空間舉個三者疊加成 u 的例子嗎?
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◆ From: 140.112.247.229
→ kuromu:好詳細 但是我也想問一下 邊界項代表的意義..... 01/28 23:19
推 cobeycobey:推.好詳細 01/28 23:56
推 WINDHEAD:恩,只有當▽^2[u(r)]=0才是"齊頭式的平等喔" 01/29 08:50
推 qna:邊界的貢獻是說 邊界外面也可能有電荷 他也會貢獻內部電位阿 01/29 10:39
推 LeeSeDol:推 01/29 15:10
→ kuromu:但是如何從公式上解釋邊界外電荷如何影響內部電位? 01/29 17:39
→ kuromu:請問一下 為什麼 01/29 19:28
→ kuromu: δG δu 01/29 19:28
→ kuromu:∫ [ u．—— - G．—— ]dS 中的 01/29 19:28
→ kuromu: S δn δn 01/29 19:28
→ kuromu:u可解釋為surface dipole density 01/29 19:28
→ kuromu: δu 01/29 19:28
→ kuromu:而 ——可解釋為surface charge density ? 01/29 19:28
→ kuromu: δn 01/29 19:28
推 nevinyrrals:專業推 01/30 01:57
→ nevinyrrals:其實電磁學中的電荷守衡應該是divJ+dρ/dt=0 01/30 02:04
→ nevinyrrals:Poisson's eqn.指的是在有電荷源之下電位的擴散情形 01/30 02:06
→ nevinyrrals:不過我想其基本精神是相同的 01/30 02:07
推 LeeSeDol:原po指的應該是"無源場中一封閉曲面的淨通量恆為零" 01/30 02:11
→ Emcc:感謝nevinyrrals指正 01/30 02:30
※ 編輯: Emcc 來自: 140.112.247.229 (01/30 02:34)