[請益]再問 Faraday's law

[Beachboy (天煞孤星)]

前面有一篇，

我提到法拉第定律的問題。

後來看了Griffith，

書中也說，法拉第定律其實沒有新的物理，就是Lorentz force而已。



但我後來自己嘗試推導的時候，怎樣都推不出ε=-dΦ/dt的負號。

後來，我發現，問題出在那個da的方向。

若由 F =q (v x B) 出發，計算 ε=  E的線積分


     ε = ∫ (v x B)‧dl   ，這裡 B、v、dl均有方向


        = ∫ B‧(dl x v)   ，由三重積得到
                ^^^^^^^^
               這時候就面臨這一坨乘出來，大小是d(da)/dt，

               但da的方向要跟 dl x v 同向還是反向？



 我是在想，大家一定認為這種事情很顯然呀！

 da方向當然是由dl然後右手定則決定呀，所以 dl x v = - d(da)/dt

 就可以輕易得到 ε=-dΦ/dt 中的負號。



 但我是想自己重新想一遍，從零出發，想說，那為什麼da非得用右手定則決定方向？



 我以為，如果純粹是要計算ε(=-dΦ/dt)，那個負號甚至可以拿掉也無仿，那個負

 真要說有什麼意義，就是提醒我們判斷ε的方向，但ε在數值上，它的正負本身沒

 啥意義，甚至，你說感應電場E的線積分本來就是一個正的純量，這樣也沒錯。

 所以如果直接以 ε=-dΦ/dt 或 法拉第定律的積分型式 ∫E‧dl = -d/dt(∮B‧da)

 來看，那個-似乎沒有必然存在的必要性(除了概念上)。

 畢竟da就是一個面積，不管他磁通量往上還往下，要正要負隨便，都算得出ε大小。



 但究竟da還是有方向，應該是說再需要的時候。

 再想一想，又發現，那個負號還是要在！


 我認為關鍵出於二點：

 1.想要把法拉第定律寫成 微分形式的時候

 2.Stoke's theorem



 要想把∫E‧dl = -d/dt(∮B‧da)  寫成   ▽ x E = - dB/dt  (d是偏微，我打不出來)

 就需要用到Stoke's theorem。

 而da的方向在Stoke's theorem裡面就是dl用右手定則比出來的。

 因為這樣定，Stoke's theorem 方程式左右才不會差一個負號。

 於是，負號終於又敗部復活，有存在的理由。



 結論：

 1.如果用純量去算簡單情況的ε，那個負號不會跑出來，意義也不大。

 2.負號特別重要在於要把Faraday's law 寫成微分形式，而且微分形式是vector，

   正負有意義。 對於積分形式，都是scalar，正負較沒差。但配合一致性，當然

   在ε=-dΦ/dt式中，自然保留那個負號。





 不知道對此想得比較深的高手們，看法怎樣XD













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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.122.198.171
→ kuromu:請問能數學上證明出有負號才能遵守能量守恆嗎
→ Beachboy:Helmholtz是不是有做過這件事？
→ chungweitw:"法拉第定律其實沒有新的物理，就是Lorentz force而已"
→ chungweitw:請問這句話在哪個章節出現?
→ chungweitw:如果可以寫出原文, 那更好 (因為我的書的版本或許不同)
  在3ed p.298

  The flux rule is a nifty short-cut for calculating montional emf's.

  It does not contain any new physics. Occasionally you will run across

  problems that canot be handled by the flux rule; for this one must

  go back to the Lorentz force law itself.


  坦白說我英文不好，如果我有錯誤理解，請指正。


推 nevinyrrals:那個負號應該比你想像的還重要，建議你參閱波映庭定理
  我去看看，猜想和能量守恆有關？


※ 編輯: Beachboy        來自: 140.122.198.171      (02/02 15:14)
→ chungweitw:他是說 由 flux law 得到 motional emf 沒有新的物理
→ chungweitw:但是emf 不是只能從線圈的移動而獲得
→ chungweitw:你把下一小節讀一下就知道了
→ Beachboy:噢，c大我懂了，如果是感生電動勢，就無法從Lorentz弄出
→ Beachboy:所以他指的是那個因為移動而的到的rule而非法拉第定律
→ chungweitw:yes.
→ Beachboy:難怪總覺得哪裡有點問題... btw,那個負號到底可不可以被
→ Beachboy:推導出來？ 還是說，Faraday's "law" 本來就是不推導
→ chungweitw:ε 定義為 E dot dl 的積分. 所以正負號和 dl 有關
→ chungweitw:從這邊去小心check, 就會得到負號.
→ Beachboy:但是dl不就是刻意跟著E的方向，順著E去積分得到電動勢
→ chungweitw:至於Faraday's law. 我覺得就是law吧. 不能推導.
→ Beachboy:這樣積出來必定是一個正的數
→ chungweitw:v x B 可以和 dl 反像啊.
→ chungweitw:          向
→ chungweitw:                  向
→ Beachboy:那dl由什麼決定？
→ chungweitw:agree. 這是因為我們取右手定則決定 da 的方向造成的
→ sneak: 噢，c大我懂了，如果是 https://daxiv.com
→ sneak: v x B 可以和 d http://yofuk.com
→ muxiv: yes. https://muxiv.com