Re: [問題] 質能互換公式的數學

[mantour (朱子)]

考慮二個質量相同的質點對撞後合而為一

在質心座標S中：
         A      B
初速     v     -v

末速     0      0

初始質量 m      m

末質量      M


在相對於質心以速度v運動的座標S'中

         A       B

                       -2v
初速     0    v' = -------------
                    1 + v^2/c^2

末速     -v      -v


初始質量  m      m

末質量      M

如果按照古典力學，靜質量守恆，則M = 2m

則會發現在S中動量是守恆的，但S'中動量卻不守恆

若要令S'中動量也守恆的話

則 1/√(1-v^2/c^2) * M * (-v) = 1/√(1-v'^2/c^2) * m * v'

將 v' 代入整理可得

M = 2m/√(1-v^2/c^2)

碰撞前後靜質量的差

= M - 2m

= 2(1/√(1-v^2/c^2) - 1)m

= 2K/c^2

也就是說：碰撞後增加的靜質量，等於非彈性碰撞中所損失的動能

以上應該就是原PO所要的假想實驗的說明

更一般的來說

在狹義相對論中，不論是彈性或非彈性碰撞

總能量(動能加質能) E = Σγ_i m_i c^2  都是守恆的

而靜止質量則不一定守恆

與古典力學對照如下

          靜止質量     總能量(力學能)

古典      守恆         力學能在非彈性碰撞時不守恆

相對論    不守恆       總能量守恆




※ 引述《Timothy0225 (暴食者打我)》之銘言：
: ※ 引述《aragornwill (ichiro)》之銘言：
: : 質能互換公式 E =MC^
: : 的數學推導
: : 麻煩知道的人 PO上來一下  感激不盡~
: dT = Fdx = (dp/dt)dx = (v^2)dm' + m'vdv
: m' = γm , dm = (γ^3)mβdβ
: => dT = γ^3*mc^2βdβ => T = mc^2(γ-1)
: 不知道這是不是a大要的推導
: 不過靜止能量為mc^2 這個好像是基本假設(?)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour         來自: 140.112.213.158      (02/08 22:12)
→ kuromu:請問如何知道要乘上什麼因子才能維持動量守恆?
推 aragornwill:其實我想問的是 在動量守恆 "光子 轉換成質量"E=mc^
→ aragornwill:就是相對應有多少光子在平衡質量中心系統上 轉換成
→ aragornwill:質量 的假想實驗   2009年愛因斯坦有發表過這篇的樣子
→ petwing:                      ^^^^^^^^^^^^^^  ！？
推 ntust661:2009年XDDDD
推 aragornwill:1909年   拍勢 多加了100年