作者chendaolong (JoJo A Go!Go!)
看板Physics
標題Re: [問題] 廣義相對論與牛頓絕對時空
時間Mon Feb 15 20:58:22 2010
補充一下
最近在看微分幾何入門與廣義相對論
http://tinyurl.com/yzaqtwh
他裡面也是有提到 g = diag(0,1,1,1) 是退化的度規
μν
他以牛頓絕對時空做為沒有度規(即度規是退化的)卻有克氏符的例子
下面是抄自書上的敘述
牛頓引力論的背景時空叫"牛頓時空"，由 R^4 及其上的如下附加內稟結構組成：
(a)存在一個稱為絕對時間的、滿足適當條件的光滑函數 t: R^4 → R；
(b)在 R^4 上存在導數算符 ▽_a，它在某特定坐標系 {x^μ} (其中 x^0 = t)
的克氏符滿足
i ∂f
Γ = ------- , i = 1,2,3 , 其他為 0 (6-1-10)
00 ∂x^i
由這兩點出發可做下面的討論：
(1)絕對時間的存在使時空流形 R^4 具有一種絕對的"分層"結構：
∀p∈R^4，存在一個等 t 面 Σ_t (R^4 中的超曲面)使 p∈Σ_t，代表
t 時刻的"整個3維空間"，稱為一個"絕對同時面"。事件 p, q 稱為同時的，
若 t(p) = t(q)。
(2)設γ(λ)是牛頓時空中的任一測地線(λ為仿射參數)，則其在滿足式(6-1-10)
μ
的座標系的參數表達式 x (λ) 服從方程組
2 μ ν σ
d x μ dx dx
------- + Γ ----- ----- = 0 , μ = 0,1,2,3
2 νσ dλ dλ
dλ
μ = 0 可得 t = αλ + β , α,β為常數。
上式表明絕對時間 t 可充當任一α≠0 的測地線的仿射參數。
再令μ= i 可得
2 i
d x ∂f
----- + ------ = 0 , i = 1,2,3
2 i
dt ∂x
i
只要把 f 解釋為引力勢，把 x 解釋為伽利略座標，則牛頓時空中以絕對時間 t
為仿射參數的測地線對應於自由質點的世界線。
(3)梨曼張量與里奇張量的座標分量如下：
2
j j ∂ f
R = -R = --------- , 其他為 0
0i0 i00 i j
∂x ∂x
2
R = ▽ f = 4πρ
00
以上是摘自書上的片段
他最後有提到不存在度規，但是上一篇中提到的度規好像可以滿足這篇的克氏符
這點是小弟感到比較疑惑的地方
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◆ From: 59.126.40.88
→ paperbattle:我想問一下你對christoffel symbol的理解是什麼? 02/16 01:42
→ paperbattle:不是要戰你 只是確認一下 02/16 01:42
→ paperbattle:因為我覺得你這一篇就已經把你自己的問題解決了 02/16 01:45
→ chendaolong:Chris. sym.是不需要用metric來定義，但是我的疑問是 02/16 08:37
→ chendaolong:他說不存在度規，可是上一篇的度規的確可以滿足？我想 02/16 08:38
→ chendaolong:知道我的盲點在哪裡，或是可以證明真的不存在度規。 02/16 08:40
→ chendaolong:整個來龍去脈大概如下：書上說沒有度規卻有克氏符→ 02/16 08:57
→ chendaolong:沒有度規即退化度規(0,1,1,1)→想到 The corresponden 02/16 08:58
→ chendaolong:ce 那節的推導→gij=(-c^2-f,1,1,1)可以導出相同的克 02/16 08:59
→ chendaolong:氏符→與書上說的沒有度規相違背？ 02/16 09:00
→ chendaolong:還是說我漏掉了什麼條件？牛頓絕對時空還需要什麼限 02/16 10:42
→ chendaolong:制嗎？ 02/16 10:42