推 HDT:認真有推= = 03/06 20:22
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這一篇是回覆
#1BZfoO5A
作者 trbmon
[問題] 兩物體落下的問題
※ 引述《trbmon (Mon)》之銘言：
: 標題: [問題] 兩物體落下的問題
: 時間: Thu Mar 4 01:29:56 2010
:
: 已經知道 在不考慮空氣阻力的狀況下
:
: 任何物體由同高度落下 皆會同時著地
:
: 那如果考慮空氣阻力呢?
:
: 外型相同 但重量不一樣的物體
:
: 是重的會先落地嗎?還是一樣同時落地???
:
: 有空氣阻力時考慮的因素是那部分?謝謝
:
1. 首先 我提出回答，
----------------------------
形狀大小一樣，但是質量不一樣的2個東西，假如說從靜止開始下墜，
(將空氣阻力納入考量)
重的會掉得比較快(我這樣說：相同的掉落距離花費較少的時間)
輕的會掉得比較慢(花費時間較長)
請參考下圖： (不夠精美的話請見諒)
假設說現在有3個形狀大小一樣的球：A、 B、 C
它們的質量分別是 ： m1、m2、m3
(m1 > m2 > m3)
這張圖是從靜止開始下墜的 時間 與 速度關係圖
http://img31.imageshack.us/img31/5679/37913916.jpg
先簡單講解圖。可以看到，對於3種球的下墜來說，他們的速度都是越來越快，
但是增速的程度越來越減緩，最後他們都各自趨近各自的極限值，無法更增快。
(這就是"終端速度" 它的大小是 根號的 mg/K 越重的球，它的終端速度越大)
整體來說，越重的球掉得越快。
2. 我要試簡單解釋空氣阻力(這就是我用來計算的空氣阻力)
(我在3.會計算力的作用)
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空氣阻力與流體的行為有關，並不單純。不過下面的簡單式子可以一定程度地
描述空氣阻力的大小：
2
空氣阻力 F = K V
V 是下墜物的速度。空氣阻力正比於它的平方。
K 是一個常數值，如果 下墜物的形狀大小、空氣性質 保持不變，那它就是固定的。
所以說同一個東西，它掉得越快，它就受到越大的空氣阻力。
3. 我試著去計算加速度、質量、速度、空氣阻力 之間的關係。
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我用寫的，在下面的圖裡面。不是很精美請見諒。
http://img189.imageshack.us/img189/3295/93404210.jpg
另外，我們可以把注意力集中在球剛開始往下掉的時候...
請看圖：
http://img638.imageshack.us/img638/8210/55978560.jpg
它們的速度、還有加速度都相差不遠，因為他們的速度都還很慢，所以沒受到
很大的空氣阻力。
結論是
重的會掉得比較快
輕的會掉得比較慢
(我後來在文章末尾有加入一些補充說明這個結果)
4. 關於更詳細的時間與速度關係圖...
------------------------------------
我們可以根據3. 裡面提到的模型，建立一個微分方程，
然後解出時間的函數V(t)：
╭ 2 d
│ g ─ k/m V = ─ V
│ dt
│
│ 初始條件 V(0) = 0
│
╰
我就先討論至此，不去解它。
以上是我的討論。
有誤請指教
(題外：trbmon ~~ 你去哪了啊? 我們已經以你的問題為中心討論好多了...)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.43.224.25
※ 編輯: Entropy1988 來自: 114.43.224.25 (03/06 13:51)
※ 編輯: Entropy1988 來自: 114.43.224.25 (03/06 13:59)
看過一篇後面Arry2000的回文，所以我決定加入一段補充來讓我的討論更完備...
從3.的計算我們知道，假如速度一樣，越重的就會有越大的加速度，
所以假如說現在3顆球在同一時間，速度一樣，那麼在下一刻，重的球的速度就會超過
輕的球。因為重的球有比較大的加速度。
除此之外呢，3顆球它們都是不會減速的。這一點應該沒有問題。
所以我們可以繼續推論：
3顆球在一開始的時候，因為都是從靜止開始，所以速度都一樣，
不過，馬上在下一刻，重的球的速度就會超過輕的球。而且，就算是考慮到輕的球
它的速度後來又和重的球一樣，那麼在下一刻，重的球的速度又會超過輕的球。
我們得到了這樣的結論：這2種狀況都一定會發生 ：
1. 輕的球的速度有時候和重的球一樣。
( 起碼在一開始的時候。不過我還沒有推論告訴我們 輕的球的速度在之後
有沒追回來到一樣快的可能性。所以這種事情有可能只會短暫地發生在
開始的一瞬間。 )
2. 重的球的速度超過輕的球。
因為1.、2.兩件事都必然會發生，所以說若給輕的球和重的球同樣的時間，
重的球會走比較長的距離。或者反過來說，給它們跑同樣距離的目標，重的球花的時間
會較少。
{ 為了幫助瞭解，我們可以試著想像 ："A先生和B先生的賺錢速度一開始是一樣的
(賺錢速度，可以看作是一天賺了多少錢) ；不過A先生的賺錢速度一定會馬上超
過B先生。是說搞不好可能後來B先生因為我們不知道的原因又追到一樣的賺錢速度
，以致於B先生有一天在一天之內和A先生賺了一樣多錢；然而很可惜隔天的單天業
績又會輸給A先生。所以說 我們一段時間後來看(像是一個月後)，就會發現A先生賺
的錢會比B先生的還要多。}
end
以積分來看的話，走的距離= S V dt ；
start
end
A 超過 B 的幅度= S (Va - Vb) dt
start
因為，必存在一些 t 的 interval 裡面，Va > Vb ； 除此之外的 interval 中，則
Va = Vb ， 所以，A超過B的幅度必為正值。
( 雖然我沒有解出微分方程，但事實上解出來的結果將告訴我們，重的球的速度
在之後將會一直超過輕的球。由於解微分方程的結果不能從我上面的邏輯推理
得出，而是從別的地方來的，所以我不能把它當作是我的邏輯推理所得出的結果
來加以使用，頂多當作是"外來的補充資料" )
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