※ 引述《womack79 (糖做的老虎)》之銘言：
: A person standing at the top of a hemispherical rock of radius R kicks a ball
: (initially at rest on the top of the rock) to give it horizontal velocity vi
: as shown in Figure P4.46. What must be its minimum initial speed if the ball
: is never to hit the rock after it is kicked?
: 圖:http://tinyurl.com/y8l73ot
: Ans : sqrt(gR)
: 我的想法:
: 2
: 假設整個運動歷時t => R = (1/2)gt => t = sqrt(2R/g)
: 而欲不與岩石碰撞，那麼 vi ×t ≧ R
: => vi ≧ R/t = sqrt(gR/2)
: 請問我的想法哪邊有問題呢
: 先感謝各位囉m(_ _)m
以下討論的"面"的方向是指它在那張圖中的切線方向
半圓型跟地面的接觸面那一點的斜率是負無限大對吧? 在那一點兩平面垂直
可是你的速度不可能會垂直喔 因為水平有速度 以你這樣子算到後面斜率是負2
也就是說你設定的球打到那點時的斜率是 -2
你稍微把時間往前面一點點移動, 你會發現你的石頭早就已經在岩石裡面了
此題可以這樣解:
石頭路徑: Vi*t (i) + R - (1/2)gt^2 (j)
如果石頭走t秒 水平距離走了Vi*t
任意時間的岩石的位置: R cosθ (i) + R sinθ (j) (θ=0時表示岩石與地面的交點
θ=Pi/2 時表示起始點)
Vi*t=Rcosθ ==> t= Rcosθ/Vi
R - (1/2)gt^2 >= Rsinθ ==> R - 1/2 g (Rcosθ/Vi)^2 >= Rsinθ
1/2 gR (1-sinθ^2) /Vi^2 =< 1-sinθ
1/2 gR (1+sinθ) =< Vi^2
因為我們討論的θ介於0~Pi/2 也就是說 θ代入0~Pi/2皆要成立
Vi ^2 >= gR (當θ為Pi/2時)
Vi >= sqrt(gR)
另解 :
平面圓的方程式: X^2 + Y^2 = R^2
拋物線: X=Vi*t Y=R-1/2 g t^2 ==> Y= R- 1/2 g (X/Vi)^2
兩個方程式只有一個交點 (就是初始點)
也就是說這兩個式子解聯立會只有一個解
Y= R - 1/2 g/Vi^2 (R^2-Y^2) ==> (1/2 g/Vi^2) Y^2 - Y + R-1/2 gR^2/Vi^2
==> 1 - 4 * 1/2 g/Vi^2 * R-1/2 gR^2/Vi^2 = 0 (b^2 - 4ac = 0)
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(b^2)-4 * a * c = 0
Vi^4 - 2gRVi^2 + (gR)^2 = 0
(Vi^2 - gR)^2 = 0
Vi = sqrt(gR)
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