作者chungweitw (男, 穿裙)
看板Physics
標題Re: [問題] 強簡併之 Fermi-Dirac 氣體：能量於低뜠…
時間Tue Mar 23 11:20:34 2010
※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之銘言：
: 在 p > -1 ，且 Ef >> KT => (Ef/KT) >> 1 時之低溫極限下：
: ∞ 2 m 3/2 ∞ E
: N(T) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ ─────── dE
: 0 e FD h^2 0 (E-Ef)/kT
: e + 1
: 4πV 3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4
: ≒ ── (2m) Ef [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
: 3h^3 8 Tf 640 Tf
: ※ 吳大猷的書上的四次項為 7 π^4 / 320 應該是計算錯誤不然就是印錯
這邊 T/Tf 要改成 kT/Ef.
因為 Ef 和溫度有關. 所以不是 kTf
: ∞ 2 m 3/2 Ef(0) 1/2
: N(0) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ E dE
: 0 e FD h^2 0
: 4πV 3/2 3/2 4πV 3/2
: = ── (2m) Ef(0) = ── (2m Ef(0))
: 3h^3 3h^3
: 又粒子數守恆 N(T) = N(0)
: 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 3/2
: Ef(T) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] = Ef(0)
: 8 Tf 640 Tf
: 3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 -1
: Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
: 8 Tf 640 Tf
: π^2 T 2 7 π^4 T 4 -2/3
: Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
: 8 Tf 640 Tf
: π^2 T 2 π^4 T 4
: Ef(T)≒ Ef(0) [ 1 - ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
: 12 Tf 720 Tf
承上, 這邊 T/Tf 要改成 kT/Ef.
: http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy
: 但是網頁中 Free electron gas 內容中的四次項為 - π^4 / 80 不一樣
寫成 T/Tf 的話, 係數就會是 wikipedia 所說的這個.
( 你把上式換成正確的 kT/Ef. 再把 Ef 展開成 Ef(0)[........].
然後把 Ef(0) 換成 kTf ).
補充:
Let pi = 1, 最後再把 pi 補回去..
Let k = 1.
-(T/Ef)^2 / 12
= -( T / (Tf [1-(T/Ef)^2 / 12 + .... ] ) )^2 / 12
就會得到 一個 (T/Ef)^4 的 term, 再把 Ef 換成 Tf
( 如果你要 T^6..那就不能換成 Tf..必須再展開. 但是你只到 T^4..
所以這邊就直接換了 )
U(T)一樣作法. 教科書結果是對的
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◆ From: 24.250.192.240
→ caseypie:Ef和溫度無關，和溫度有關的是μ 03/23 11:22
→ chungweitw:他這邊的Ef 就是 mu. 他用 Ef 這符號罷了 03/23 11:23
推 Frobenius:教科書把分母中的μ=Ef(T)用μ(0)=Ef(0)取代 再換成Tf 03/23 11:32
→ chungweitw:如果教科書真的這樣做, 那麼 教科書錯了. 03/23 11:32
→ chungweitw:但是教科書的結果是對的..就是用我上述方式替代 03/23 11:33
→ Frobenius:但是他卻可以得到正確的結果＠ 比如說比熱 囧 03/23 11:33
→ chungweitw:你不是用教科書的方法 得到錯誤的結果了嗎? 03/23 11:34
→ Frobenius:我去試試看^^ 03/23 11:34
→ chungweitw:要用我這方法才會得到教科書正確的結果 03/23 11:34
※ 編輯: chungweitw 來自: 24.250.192.240 (03/23 20:48)
推 Frobenius:感恩^^ 03/24 02:25