Re: [問題] 關於量子力學中p^2/2m=?=Ek

[chungweitw (男, 穿裙)]

※ 引述《Rogii (Rogii)》之銘言：
: 考慮一個無窮位能井
: 則我們能用一組波函數來描述這個系統的狀態
: 假設我們對這組波函數測量其能量,得到一能量E1
: 和對應到能量E1的一組eigenfunction
: 在無窮位能井中,我們能畫出這組eigenfunction  對x軸的分布
: 現在,利用fourier  transformation將此組eigenfunction從 x空間表像
: 轉換到p 空間表像
: 我們會得到一組 eigenfunction對p動量的分布
: 試問,在無窮位能井中,因為位能=0處波函數才有值
: 顧測量此系統的能量就可看成測量此系統的動能,在動能E1固定的情況下
: 是否將此EIGENFUNCTION轉換到P空間後,所測出的動量必滿足E1=P^2/2M??
: 但奇怪的是,為什麼已經測出一組能量,但是動量分布卻沒有一組固定的值呢?
: 懇請解惑,真的想好好久=.=..............

roughly...

因為 potential well 有一個寬度 L. 破壞了 translational symmetry.
particle 在整個空間 ( x 從負無窮到無窮 ) 不是 free..

所以 momentum 不會是某單一值.

(  [P,H] is not equal to zero, considering the domain as all space )

以 n = 1 來說.

momenta are peaked at p = pi/L and -pi/L.

但是會有寬度...( 有點像 Lorentzian form. 但是還要加上一點 oscillation )

L 越大的話, momentum 的 uncertainty 越小 ( peak 寬度越窄 )

L -> infinity 的時候, p 就只在 pi/L 和 -pi/L 有值.

有沒有比較物理一點的想法? 就請高手補充了. 我只能 半數學半物理 理解

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◆ From: 24.250.192.240
→ caseypie:既然不是free space，就不能用FT轉到動量空間啊
→ NewFreedom:yes
推 NewFreedom:只有兩個peak 且無寬度
→ chungweitw:當然有寬度.
→ caseypie:我覺得momentum就是單一值阿，在這裡不能用FT
→ caseypie:因為在這邊對應到動量的eigenstate並不是exp(ikx)啊
→ chungweitw:可以用FT. 只不過不是 p 的 eigenstate.
推 caseypie:那你拿ft的結果來討論動量是不是唯一幹麻
→ caseypie:在這邊動量的eigenstate就是sin(nπ/2L)
→ chungweitw:原 po 就是想問為何動量不是單一值
→ chungweitw:不是. 除非你重新定義動量算符 != -id /dx
→ caseypie:動量還是單一值，他會得出錯誤的結果是他用了FT啊
→ caseypie:你拿sin(nπ/2L)去對-id/dx作用就會得到單一動量啊
→ NewFreedom:free particle 才能用exp(ikx)來線性組合吧
推 NewFreedom:抱歉 我上面又打錯 ...
→ NewFreedom:sin(kx)=[exp(ikx)-exp(-ikx)]/2i 不需要ft 就知道
→ NewFreedom:系數是常數了  所以不會有寬度吧 也不用ft
→ NewFreedom:就只有 k=nπ/2L 處係數不為 0
→ NewFreedom:你做ft 就直接把k視為連續 L已經被你假設無窮大=free
推 caseypie:啊，我修正一下：動量空間的話FT應該是正確的
→ caseypie:單就定義來看這樣操作應該是沒錯
→ caseypie:只是我懷疑這個「全域動量」的實用性...
→ caseypie:啊，我只是說「應該」，不能肯定
推 Rogii:請問這跟FREE SPACE有甚麼關係?
→ sneak: 只有兩個peak 且無 https://noxiv.com
→ sneak: 你做ft 就直接把k視 https://daxiv.com
→ sneak: 動量還是單一值，他會得 https://daxiv.com
→ sneak: 只是我懷疑這個「全域動 https://daxiv.com
→ sneak: 抱歉 我上面又打錯 . https://noxiv.com
→ muxiv: 請問這跟FREE SP https://moxox.com