Re: [問題] 關於量子力學中p^2/2m=?=Ek

[mantour (朱子)]

※ 引述《NewFreedom (時間不是奢扯品)》之銘言：
: 抱歉錯了又錯 重po一篇看看
: [P,H]≠0     h 就是 h-bar 我不會打 ,下面規一常數A
: for第n個state, Ψ=Asin(kx) , k=nπ/L  且 0<x<L  注意k不連續 井外波函數=0
: 將波函數寫成 Ψ=A[exp(ikx)-exp(-ikx)]/2i ,0<x<L
: exp(±ikx)都是P的eigensate,而Ψ不是,所以P作用在Ψ可得
: P = hnπ/L  or  -hnπ/L    , 機率各一半
: 且∣P∣ 只有一個值, P^2 =(±hnπ/L)^2,E = P^2/2m
: 原po把Ψ用FT積分轉換,已將k視為連續,也就是L無窮寬,這樣等於你把問題變成一個
: free-particle 初始波形Ψ=Asin(nπx/L) 注意他只是長的和無窮深位井的eigenstate
: 一樣 , 但你已經不是在解原本的問題了,這樣算出來動量當然有分佈
: 且能量為連續
: 如果有錯請指正,這篇就留著當錯誤示範 XD

我覺得這樣的說法不對

Ψ當然可以做FT積分轉換

無限深位井的波函數是

          e^(ikx) + e(-ikx) , 0<x<a
ψ(x) = {
          0 , otherwise

並不是ψ(x) ＝ e^(ikx) + e(-ikx)

在井外的空間並不是不存在，只是ψ=0

這邊並不能說 ψ＝e^(ikx) + e(-ikx)，因此P有一半的機會是 kh-bar, 一半是 - kh-bar

因為

        e^(ikx) , 0<x<a
ψ  = {
        0 , otherwise

並不是動量算符的eigenfunction

因此要計算動量的測量值的出現機率，應該把這個解對動量的eigenfunction作展開

也就是原PO所做的FT轉換，得到的結果會是一個連續譜

我覺得這個問題應該出在這個解在邊界上的導數不連續

在x=0和x=a的地方 d^2ψ/dx^2 不存在

如果把無限深位井看成有限位井在位能趨於無窮大時的極限

井外的位能趨近於無窮大時，井外的機率趨近於0

(σ_V)^2 可能不會趨近於 0 ( 甚至<V> 也不一定會趨近於0 )

因此 (σ_T)^2 自然也不為 0

不過因為沒有實際計算過所以也不敢確定這樣解釋正不正確

: ※ 引述《Rogii (Rogii)》之銘言：
: : 考慮一個無窮位能井
: : 則我們能用一組波函數來描述這個系統的狀態
: : 假設我們對這組波函數測量其能量,得到一能量E1
: : 和對應到能量E1的一組eigenfunction
: : 在無窮位能井中,我們能畫出這組eigenfunction  對x軸的分布
: : 現在,利用fourier  transformation將此組eigenfunction從 x空間表像
: : 轉換到p 空間表像
: : 我們會得到一組 eigenfunction對p動量的分布
: : 試問,在無窮位能井中,因為位能=0處波函數才有值
: : 顧測量此系統的能量就可看成測量此系統的動能,在動能E1固定的情況下
: : 是否將此EIGENFUNCTION轉換到P空間後,所測出的動量必滿足E1=P^2/2M??
: : 但奇怪的是,為什麼已經測出一組能量,但是動量分布卻沒有一組固定的值呢?
: : 懇請解惑,真的想好好久=.=..............

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◆ From: 140.112.125.84
※ 編輯: mantour         來自: 140.112.125.84       (03/24 12:02)
※ 編輯: mantour         來自: 140.112.125.84       (03/24 12:20)
推 caseypie:既然已經有了ψ＝e^(ikx) + e(-ikx)，那動量顯然為0
→ caseypie:至於最後說的近似，大可用有限位能井去逼近
→ caseypie:在有限位能井的情況下，如果是考慮總能低於井深
→ caseypie:則一般不會說在井外的波函數具有動量k
→ caseypie:當說到一個波函數有動量如何，通常已經預設這是自由空間
→ caseypie:另一種解釋法是：有限位能井外部的波函數動量為虛數
→ caseypie:因為指數衰減e^(-kx)可視為e^(i(ik)x)
→ caseypie:直接拿這個虛數動量套用在E = p^2/2m + V
→ caseypie:則可以準確得到總能量
→ caseypie:如果要強行用FT展開動量分佈，雖然那符合定義
→ caseypie:但我認為那沒有意義：它不具有任何認識物理現象的作用
→ mantour:可是我關心的是系統動量的測量值，而不是波函數「看起來」
→ mantour:的動量
→ mantour:系統動量測量值應該只有一個值，怎麼還有分井內井外？
→ caseypie:井內外的總能相同但位能不同，那動能當然不同
→ caseypie:動量又怎麼會相同？
→ mantour:所以如果用有限深位井近似，在井外位能趨近於無窮大時
→ mantour:系統又不是一個粒子，怎麼會有「在井內」和在井外的時候？
→ caseypie:系統不是一個粒子不然是什麼
→ mantour:我是說你不會量到系統 「在井外時的動量」
→ mantour:因為你測動量的時候就不知道位置
→ caseypie:為什麼不會？
→ mantour:所以如果用有限深位井去近似
→ caseypie:我不是完全不知道位置啊
→ mantour:在井外位能趨近於無窮大時，<V^2> - <V>^2 和
→ mantour:<T^2> - <T>^2 會不會趨近於 0 ?
→ mantour:我想這才是本來的問題所在
→ caseypie:井外位能趨近於無窮大，那e^(-kx)的k就是無限大
→ caseypie:所以直接整條波函數降到0啊
→ mantour:換句話說，實際做一個很高的位井，量到的動量是連續譜
→ mantour:還是二個peak
→ mantour:我是說，先把<T^2>-<T>^2 寫成V0 的函數
→ mantour:再令V0 -> 無窮大
推 caseypie:我不知道你說的「量到」是怎樣的動作
→ mantour:你把井外的波函數直接寫成0，會造成邊界上有奇點
→ mantour:謝謝 我可能要再想想 :)
推 caseypie:其實這讓我想到我已經很久沒看到動量本徵態這種敘述了
→ caseypie:可能它本來就不是很實用，反正大家都用能量在討論啊...
→ mantour:我記得在某本大陸書上看過關於無限深位井的能量本徵態的
→ mantour:動量分布，朗道和泡利曾經給出不同的結論
→ mantour:那本書是支持連續譜的說法
→ caseypie:如果你要說動量分佈，我想直接FT應該是正確的
→ mantour:不過書上寫的也可能是錯的XD
→ caseypie:但是我不覺得那個結果有用就是了...
→ caseypie:畢竟我們一般討論的時候如果說動量如何
→ mantour:嗯嗯 謝謝你的討論
→ caseypie:那就已經是預設為free space情況了
→ caseypie:這麼客氣會讓我很不習慣，難道我們認識的不夠久嗎(裝熟)
推 sunev:舉手，為什麼e^(ikx) , 0<x<a; 0 otherwise不是p的eigenket?
→ caseypie:樓上，他不continuous啊....
→ sneak: 動量又怎麼會相同？ https://muxiv.com
→ sneak: 還是二個peak https://daxiv.com
→ sneak: 換句話說，實際做一個很 https://daxiv.com
→ sneak: 系統又不是一個粒子，怎 https://muxiv.com
→ sneak: 可是我關心的是系統動量 http://yofuk.com
→ muxiv: 我記得在某本大陸書上看 http://yofuk.com