作者mantour (朱子)
看板Physics
標題Re: [問題] 關於量子力學中p^2/2m=?=Ek
時間Wed Mar 24 17:08:33 2010
我還有一個問題XD
在這個例子裏
動量空間算出的動能和位置空間算出的動能的variance不同
如果用
∫ψ(x)*(-(1/2m)d^2/dx^2)^2ψ(x)dx -
[∫ψ(x)*(1/2m)(-d^2/dx^2)ψ(x)dx ]^2
來計算的話，結果是0，也就是能量本徵態有確定的動能
但是如果換到動量空間
∫|Φ(p)|^2 (p^2/2m)^2 dp - [∫|Φ(p)|^2 (p^2/2m) dp ]^2
就顯然不會等於0
而我覺得後者才是正確的，因為前者在x=0和x=a時無法正確計算 d^2/dx^2ψ的值
而後者在數學上似乎比較站得住腳
但是前者似乎比較符合直覺說位能恆為0，動能=總能
我可以想到的解釋是用有限位井去逼近無限位井時
位能的不確定性可能不會趨近於0
因此動能也具有不確定性，只有總能是確定的
希望板友給我解惑一下
※ 引述《caseypie (吟遊詩人)》之銘言：
: 剛剛和朋友討論了一下（諾貝爾獎得主的高徒，科科科）
: 這似乎算是某種關於量子力學的漏洞的問題...
: 先說結論：動能和動量不是同一回事
: 一切照著定義來，在無限位能井內（井底0位面）：
: 能量（動能）：(hbarπn)^2/2mL^2
: 能量本徵態：√(2/L)sin(nπx/L)
: 動量本徵態：Exp(ikx)
: 動量空間內波函數：能量本徵態的FT--所以是個k的連續分佈
: 井內的動量期望值：0
: 至於為什麼會出現「有固定能量卻沒有固定動量值」這種事情
: 呃....
: 1. 按照定義操作，就是這樣，既然P和H不commute，本徵態不同本來就很合理（廢話）
: 2. 違背直覺？量子力學本來就很違背直覺嘛
: 3. 其實這跟量子力學沒有完全按照Hilbert space的定義在操作有關連，那個誰誰誰就
: 在做這個補完，他們在正式quantize前還有個prequantisation...（聽不懂）
: 結論就是古典力學下動能和動量的直覺關係在這裡不能套用啦
: 也因為這樣，所以操作時使用的其實都是能量本徵態，比方說propagator就是這樣
: 平常都用exp(ikx)只是因為通常都在自由空間，不要方便當隨便啊
: 另外關於我在mantour大的文章底下推文提到的「分區」，在此修正：
: 我們一般討論時會分區討論不同區域的波函數(對應至能量本徵態)的k值
: 但是那個k值是以 (hbar k)^2/2m 的方式對應到動能，並非代表動量
: 關於動量，根據其function space內算符的定義，其eigenstate恆為Exp(ikx)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (03/24 17:11)
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (03/24 17:20)
推 pleasetoyou:用數學定義來想,就是看是不是對稱函數,Maybe....... 03/24 19:02
→ caseypie:你的Φ(p)是什麼？ 03/24 21:11
→ caseypie:1是正確的，對於H的eigenstate，井內動能是定值 03/24 21:11
→ mantour:動量空間的波函數 03/24 21:13
→ mantour:那請問(2) 錯在哪？ 03/24 21:14
→ caseypie:哪個動量空間波函數？你下面寫的Φn(k)？ 03/24 21:57
→ mantour:嗯 03/24 22:47
→ caseypie:那這樣說吧，你原本的space只有0到L，FT後卻是全域k 03/24 22:54
→ caseypie:你不覺得有啥不平衡的地方嗎 03/24 22:55
→ caseypie:1中得到的能量，是「井內」動能，不是全域動能 03/24 22:56
→ caseypie:如果你是用轉換成全域動量再來算，那當然會有不準量 03/24 22:57
→ caseypie:還是一樣，可以從有限位能井開始處理 03/24 22:57
→ caseypie:有限位能井，我們依然會說井內動能多少井外動能多少 03/24 22:58
→ caseypie:而你拿全域的空間波函數去做，當然是不會得到定值動能啊 03/24 22:59
→ Rogii:請問這跟全域有啥關聯嗎???? 03/24 23:29
推 chungweitw:我的看法是兩個積分結果一樣. 第一個結果也不會是零. 03/24 23:34
→ chungweitw:你要 include V 進去, 才會得到 零. 03/24 23:34
→ chungweitw:否則第一式你在邊界也難以處理. 把V包含進去, 就可以把 03/24 23:35
→ chungweitw:邊界的 singularity 處理掉. 03/24 23:35
→ chungweitw:所以我覺得 位能 = 0, 動能 = 總能 這說法有點怪.. 03/24 23:37
→ chungweitw:因為我們是在算系統的總能. 不是在算井裡面的動能 03/24 23:37
→ chungweitw:sorry..上兩句話收回..說得怪怪的. 03/24 23:38
推 chungweitw:所以, 系統沒有確定的動能. ( 位能不是到處都是零 ) 03/24 23:44
→ caseypie:要說全域，那當然是沒有確定的動能啊 03/24 23:51
→ caseypie:但是在井裡面是可以有定值的，因為動能=總能 03/24 23:52
推 chungweitw:樓上這點我還沒想清楚. 總覺得是 boundary 搞的鬼 03/24 23:53