作者mantour (朱子)
看板Physics
標題Re: [問題] 關於量子力學中p^2/2m=?=Ek
時間Wed Mar 24 21:05:02 2010
※ 引述《NewFreedom (時間不是奢扯品)》之銘言：
: : 我覺得這樣的說法不對
: : Ψ當然可以做FT積分轉換
: : 無限深位井的波函數是
: : e^(ikx) + e(-ikx) , 0<x<a
: : ψ(x) = {
: : 0 , otherwise
: : 並不是ψ(x) ＝ e^(ikx) + e(-ikx)
: : 在井外的空間並不是不存在，只是ψ=0
: : 這邊並不能說 ψ＝e^(ikx) + e(-ikx)，因此P有一半的機會是 kh-bar, 一半是 - kh-bar
: : 因為
: : e^(ikx) , 0<x<a
: : ψ = {
: : 0 , otherwise
: : 並不是動量算符的eigenfunction
: ※ 引述《mantour (朱子)》之銘言：
: : 我覺得這樣的說法不對
: : Ψ當然可以做FT積分轉換
: : 無限深位井的波函數是
: : e^(ikx) + e(-ikx) , 0<x<a
: : ψ(x) = {
: : 0 , otherwise
: : 並不是ψ(x) ＝ e^(ikx) + e(-ikx)
: : 在井外的空間並不是不存在，只是ψ=0
: : 這邊並不能說 ψ＝e^(ikx) + e(-ikx)，因此P有一半的機會是 kh-bar, 一半是 - kh-bar
: : 因為
: : e^(ikx) , 0<x<a
: : ψ = {
: : 0 , otherwise
: : 並不是動量算符的eigenfunction
: 為何不是?? 還是滿足 Pe^(±inπx/L)= ±nh/2L e^(±inπx/L)
: e(±ikx)就是動量的eigenstate了吧, 我還是覺得做FT積分怪怪,因為把k看成練續了
: 而k因邊界條件的限制 只能等於 nπ/L n=0, ±1,±2.
: 正因為L有限 所以在區域內Ψ用級數展開
周期函數，才適用級數展開
我覺得你的問題是誤把Ψn=e^(inπx/L)+e^(-inπx/L)
向二邊周期性的沿伸了
e(ikx)是動量的eigenstate
但
e^(ikx) , 0<x<a
ψ = {
0 , otherwise
不是
它在x=0,x=a處不滿足Pψ=pψ
: Ψ=ΣCn e^(inπx/L) ,n=0, ±1,±2..
: 就好像井內若Ψ=cosx 求能量期望值 你也不會把他用FT積分展開 而是用級數
: 因為他不是free-particle
: 如此 Ψn=e^(inπx/L)+e^(-inπx/L) 雖不是P的eigenstate 卻是用eigenstate展開了
: 為兩個動量的eigenstates的線性組合 也就是簡併
: 分別對應到動量等於 ± nπ/L 則動量對應的能量就是唯一值
: 話說回來 我真的用FT轉 ψ(k) = 0 for n = even
: 很醜 我打不出來 k^2在分母 n = odd
: 這樣的動量分部 在井中 是不會疊加成駐波的
: 我依然覺得錯誤的關鍵是 不應該做FT積分轉換 而是級數
: 用 動量= ±nh/2L 形成駐波 不是很明顯嗎??
: : 因此要計算動量的測量值的出現機率，應該把這個解對動量的eigenfunction作展開
: : 也就是原PO所做的FT轉換，得到的結果會是一個連續譜
: : 我覺得這個問題應該出在這個解在邊界上的導數不連續
: : 在x=0和x=a的地方 d^2ψ/dx^2 不存在
: : 如果把無限深位井看成有限位井在位能趨於無窮大時的極限
: : 井外的位能趨近於無窮大時，井外的機率趨近於0
: : (σ_V)^2 可能不會趨近於 0 ( 甚至<V> 也不一定會趨近於0 )
: : 因此 (σ_T)^2 自然也不為 0
: : 不過因為沒有實際計算過所以也不敢確定這樣解釋正不正確
: : 因此要計算動量的測量值的出現機率，應該把這個解對動量的eigenfunction作展開
: : 也就是原PO所做的FT轉換，得到的結果會是一個連續譜
: : 我覺得這個問題應該出在這個解在邊界上的導數不連續
: : 在x=0和x=a的地方 d^2ψ/dx^2 不存在
: : 如果把無限深位井看成有限位井在位能趨於無窮大時的極限
: : 井外的位能趨近於無窮大時，井外的機率趨近於0
: : (σ_V)^2 可能不會趨近於 0 ( 甚至<V> 也不一定會趨近於0 )
: : 因此 (σ_T)^2 自然也不為 0
: : 不過因為沒有實際計算過所以也不敢確定這樣解釋正不正確
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◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (03/24 21:07)
→ NewFreedom:...怎麼爆法 而且重點是其他地方 我真的用積分轉換了 03/24 21:07
→ mantour:它在x=0處的微分不存在呀… 03/24 21:08
→ NewFreedom:照你這樣說 H算了也報了 03/24 21:08
→ NewFreedom:而且週期函數才能展開..你誤解字面了 我已經說啦 03/24 21:09
→ NewFreedom:很多無限位能井裡面給個波形也是級數展開 教科書裡一堆 03/24 21:10
→ mantour:我是說在動量空間不能這樣 03/24 21:11
→ NewFreedom:聽不懂耶 我沒有用什麼動量空間阿 03/24 21:12
→ NewFreedom:我是用e^(in pi x/L) 做基底展開的 n為整數 03/24 21:13
→ NewFreedom:而若用ft積分轉換 那個k分佈 明顯不是駐波 03/24 21:14
→ mantour:你並不是用 e^(in pi x/L)做基底展開 03/24 21:15
→ mantour:而是用 e^(in pi x/L) x=0~L 展開 03/24 21:15
推 NewFreedom:恩 對阿 03/24 21:16
→ mantour:e^(in pi x/L) + e^(-in pi x/L) x=0~L 03/24 21:17
→ mantour:是能量的本徵態，所以算cos(x)的能量期望值時可以用它展開 03/24 21:18
→ mantour:但是 要算動量的分布的時候要用動量的本徵態展開 03/24 21:18
→ mantour:而動量本徵態就是 e^(ikx) , x=-無窮大~無窮大 03/24 21:19
→ mantour:這個是不會因不同位勢而改變的 03/24 21:19
→ mantour:動量算符與位勢無關，所以它的本徵態也與位勢無關 03/24 21:20
→ mantour:除非你的空間就只有 x=0~L (位井外的空間不存在) 03/24 21:20
→ mantour:這樣你就是對的 03/24 21:20
→ NewFreedom:我覺得關鍵就是這了吧 你何不真的做一次ft積分轉換 03/24 21:21
→ NewFreedom:就知道 你是在處理 freeparticle的問題 能量為連續 03/24 21:22