作者mantour (朱子)
看板Physics
標題Re: [問題] 關於量子力學中p^2/2m=?=Ek
時間Wed Mar 24 21:30:22 2010
※ 引述《NewFreedom (時間不是奢扯品)》之銘言：
: : 我覺得這樣的說法不對
: : Ψ當然可以做FT積分轉換
: : 無限深位井的波函數是
: : e^(ikx) + e(-ikx) , 0<x<a
: : ψ(x) = {
: : 0 , otherwise
e^(inπx/L)+e^(-inπx/L) , 0<x<L
ψn(x) = {
0 , otherwise
∞
Φn(k) = 1/√2π∫ψn(x)e^(-ikx)dx = 1/i(nπ/L+k) [e^i(nπ+kL) -1]
-∞
∞
ψn(x) = 1/√2π ∫ Φn(k) e^(ikx) dk
-∞
(原諒我沒寫歸一化系數)
自然會得到本來的Φn(k)，也就是正確的解
和形不形成駐波有什麼關係?
此處|Φn(k)|^2 (應該還要乘上係數)
就是在第n個能量本徵態動量為 k h-bar的機率
: : 並不是ψ(x) ＝ e^(ikx) + e(-ikx)
: : 在井外的空間並不是不存在，只是ψ=0
: : 這邊並不能說 ψ＝e^(ikx) + e(-ikx)，因此P有一半的機會是 kh-bar, 一半是 - kh-bar
: : 因為
: : e^(ikx) , 0<x<a
: : ψ = {
: : 0 , otherwise
: : 並不是動量算符的eigenfunction
: ※ 引述《mantour (朱子)》之銘言：
: : 我覺得這樣的說法不對
: : Ψ當然可以做FT積分轉換
: : 無限深位井的波函數是
: : e^(ikx) + e(-ikx) , 0<x<a
: : ψ(x) = {
: : 0 , otherwise
: : 並不是ψ(x) ＝ e^(ikx) + e(-ikx)
: : 在井外的空間並不是不存在，只是ψ=0
: : 這邊並不能說 ψ＝e^(ikx) + e(-ikx)，因此P有一半的機會是 kh-bar, 一半是 - kh-bar
: : 因為
: : e^(ikx) , 0<x<a
: : ψ = {
: : 0 , otherwise
: : 並不是動量算符的eigenfunction
: 為何不是?? 還是滿足 Pe^(±inπx/L)= ±nh/2L e^(±inπx/L)
: e(±ikx)就是動量的eigenstate了吧, 我還是覺得做FT積分怪怪,因為把k看成練續了
: 而k因邊界條件的限制 只能等於 nπ/L n=0, ±1,±2.
: 正因為L有限 所以在區域內Ψ用級數展開
: Ψ=ΣCn e^(inπx/L) ,n=0, ±1,±2..
: 就好像井內若Ψ=cosx 求能量期望值 你也不會把他用FT積分展開 而是用級數
: 因為他不是free-particle
: 如此 Ψn=e^(inπx/L)+e^(-inπx/L) 雖不是P的eigenstate 卻是用eigenstate展開了
: 為兩個動量的eigenstates的線性組合 也就是簡併
: 分別對應到動量等於 ± nπ/L 則動量對應的能量就是唯一值
: 話說回來 我真的用FT轉 ψ(k) = 0 for n = even
: 很醜 我打不出來 k^2在分母 n = odd
: 這樣的動量分部 在井中 是不會疊加成駐波的
: 我依然覺得錯誤的關鍵是 不應該做FT積分轉換 而是級數
: 用 動量= ±nh/2L 形成駐波 不是很明顯嗎??
: : 因此要計算動量的測量值的出現機率，應該把這個解對動量的eigenfunction作展開
: : 也就是原PO所做的FT轉換，得到的結果會是一個連續譜
: : 我覺得這個問題應該出在這個解在邊界上的導數不連續
: : 在x=0和x=a的地方 d^2ψ/dx^2 不存在
: : 如果把無限深位井看成有限位井在位能趨於無窮大時的極限
: : 井外的位能趨近於無窮大時，井外的機率趨近於0
: : (σ_V)^2 可能不會趨近於 0 ( 甚至<V> 也不一定會趨近於0 )
: : 因此 (σ_T)^2 自然也不為 0
: : 不過因為沒有實際計算過所以也不敢確定這樣解釋正不正確
: : 因此要計算動量的測量值的出現機率，應該把這個解對動量的eigenfunction作展開
: : 也就是原PO所做的FT轉換，得到的結果會是一個連續譜
: : 我覺得這個問題應該出在這個解在邊界上的導數不連續
: : 在x=0和x=a的地方 d^2ψ/dx^2 不存在
: : 如果把無限深位井看成有限位井在位能趨於無窮大時的極限
: : 井外的位能趨近於無窮大時，井外的機率趨近於0
: : (σ_V)^2 可能不會趨近於 0 ( 甚至<V> 也不一定會趨近於0 )
: : 因此 (σ_T)^2 自然也不為 0
: : 不過因為沒有實際計算過所以也不敢確定這樣解釋正不正確
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◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (03/24 21:33)
→ NewFreedom:SORRY 我觀點不同 我覺得K不連續 不能用ft積分轉 03/24 21:42
→ NewFreedom:再等人POPO看好了 03/24 21:42
→ mantour:嗯 我也要再想想 謝謝 03/24 21:43
推 chungweitw:一定可以FT. FT 哪裡需要甚麼條件. 03/24 22:42
→ chungweitw:這邊兩個peak 有寬度 就給出了variance... 03/24 22:42
→ chungweitw:剛好和 ΔpΔx ~ 1 一致 03/24 22:43
→ NewFreedom:我的意思是你用FT積分轉換 等於把問題看成L無窮寬的 03/24 23:02
→ NewFreedom:自由粒子了, 而為什麼不能級數展開勒 先不論e^(ikx) 03/24 23:03
→ NewFreedom: ^^^^^^^^^^^^多打 03/24 23:10
推 Rogii:請為什麼對FT轉換需要再 自由例子的條件下? 03/24 23:24
→ NewFreedom:V(X)=0 波函數= e^(ikx)+e^(-ikx) -無窮 <x<無窮 03/24 23:28
→ NewFreedom:V(x)不處處為0 基底是 H對應的eigenvectors不是e^(ikx) 03/24 23:47
→ NewFreedom:k沒有限制 就可以從-無窮積到無窮 03/24 23:59
→ NewFreedom:若寬度L 有邊界條件 我想我的問題出在e^(n pi x/L)為何 03/25 00:02
→ NewFreedom:不能在0<x<L當作完備基底 把波函數級數展開 03/25 00:02
→ NewFreedom:動量算子 在0<x<L中對應的特徵向量 也是個完備基底? 03/25 00:06
→ NewFreedom:我翻了一下書 Gasiorowicz 3ed p.57 58 講到類似問題 03/25 00:15
推 chungweitw:照你選的基底, 那要限定 domain 在 0<x<L. 03/25 00:16
→ chungweitw:你限定了你的 domain. 加上你的 bc... 03/25 00:17
→ chungweitw:這樣, 你要重新定義你的動量算符才可以. 03/25 00:17
→ chungweitw:這和 Lz operator 道理一樣. 但是比 Lz 複雜. 03/25 00:18
→ chungweitw:我寧可選全域用 FT. 03/25 00:18