Re: [問題] 關於量子力學中p^2/2m=?=Ek

[chungweitw (男, 穿裙)]

※ 引述《mantour (朱子)》之銘言：
: 我還有一個問題XD
: 在這個例子裏
: 動量空間算出的動能和位置空間算出的動能的variance不同
: 如果用
: ∫ψ(x)*(-(1/2m)d^2/dx^2)^2ψ(x)dx -
: [∫ψ(x)*(1/2m)(-d^2/dx^2)ψ(x)dx ]^2
: 來計算的話，結果是0，也就是能量本徵態有確定的動能

這個積分不會是零. 至於結果是甚麼, 我沒去算.
但是我相信會和底下 momentum space 的積分得到一樣的值.

上面的積分 要把 V 包含進去才會是零. ( 也就是要算 <H^2> -<H>^2 才會是零)

我認為 能量的本徵態和確定的動能 是兩回事.

不能說在 V=0 的區域 ( 0<x<L) 的 H 的eigenstate 就有確定的動能.
( 動量也是一樣 )

因為這說法很奇怪...必須要全域討論. 分段討論有問題.
( 分段討論, 讓我感覺是把 momentum and position space 混在一起用 ).



此外, 以 finite potential well 為例.

V = 0       , 0<x<L
V = U > 0   , |x|>=L

∫ψ(x)*(-(1/2m)d^2/dx^2)^2ψ(x)dx - [∫ψ(x)*(1/2m)(-d^2/dx^2)ψ(x)dx ]^2
( 積分範圍 取 0<x< L)

ψ(x) 是某 eigenstate.

若說 V=0, 所以有確定動能. 那麼結果應該會是零了吧?

但是顯然不是. ( 因為 ∫ψ(x)*ψ(x)dx < 1 )


: 但是如果換到動量空間
: ∫|Φ(p)|^2 (p^2/2m)^2 dp - [∫|Φ(p)|^2 (p^2/2m) dp ]^2
: 就顯然不會等於0
: 而我覺得後者才是正確的，因為前者在x=0和x=a時無法正確計算 d^2/dx^2ψ的值
: 而後者在數學上似乎比較站得住腳
: 但是前者似乎比較符合直覺說位能恆為0，動能=總能
: 我可以想到的解釋是用有限位井去逼近無限位井時
: 位能的不確定性可能不會趨近於0
: 因此動能也具有不確定性，只有總能是確定的
: 希望板友給我解惑一下

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◆ From: 24.250.192.240
推 bloch:嘖嘖，固態物理的書都要重寫了。
→ chungweitw:固態物理書重寫? 你是在說semiclassical 的部分吧.
→ chungweitw:這邊單純quantum. 不討論實際應用的semiclassical
推 bloch:固態物理考慮自由費米電子氣侷限在箱子裡，不就是這情形嗎?
→ chungweitw:不太一樣. 那邊 V -> infinity.
→ chungweitw:你去看有 external charge 導致 局部電子密度改變的情
→ chungweitw:形. 很多東西他就會加上近似符號.
→ chungweitw:例如: Kf^3 ~ 3pi^2 n
→ chungweitw:而且固態那邊處理的情形和 surface 沒有關係.
→ chungweitw:這邊有關係.
推 bloch:請問 V -> infinity 跟 V=infinity 的差別 ?
推 bloch:這問題的重點在於 Hibert space 在這狀況下是有限制的
→ chungweitw:我不了解你上一句話.
→ chungweitw:固態這邊體積夠大. 對於我們在意的 FS 附近的電子而言,
→ chungweitw:在只考慮 bulk property 的情形下, 邊界條件的選取
→ chungweitw:並不重要. 這邊這是完全不同的情況.
→ chungweitw:固態選擇 periodic bc, 是為方便. 也為了讓物理意義
→ chungweitw:更清楚. 選擇 periodic bc, 的 動量會是 good quantum
→ chungweitw:number. 當然動量就有確定值.
→ chungweitw:V->infinity 的意思 是 L >> 波函數波長.
→ chungweitw:你去分析一下 無窮深位能井在 n >>1 的情形就知道了
→ chungweitw:此時 delta p << p.
→ chungweitw:更正. delta p << sqrt[<p^2>].
→ chungweitw:所以才會說 bc. 不影響物理結果.
→ chungweitw:這邊就單純討論一顆電子在位能井裡面H的某 eigenstate
→ chungweitw:[p,H] !=0. 當然沒有相同 eigenstate.
→ bloch:我搞錯了，原來你的 V 是指體積。
→ chungweitw:嗯..sorry. 用了和本文相同的符號 卻指不同的東西.
→ sneak: 你去看有 extern https://muxiv.com
→ sneak: 固態物理書重寫? 你是 https://daxiv.com
→ sneak: Kf^3 ~ 3pi^ https://daxiv.com
→ sneak: 而且固態那邊處理的情形 https://muxiv.com
→ sneak: 而且固態那邊處理的情形 https://daxiv.com
→ muxiv: [p,H] !=0.  https://moxox.com