推 alenbe:謝謝你的分享 :) 04/05 00:35
推 a80481ivan:水喔~剛剛番分析力學課本 他的時間項 就是這樣~ 04/05 00:39
※ 引述《a80481ivan (阿傻)》之銘言：
: 應該是可以計算他的速度以及高度(概念應該是對的 計算過程不確定啦~)
: 由
: GMm dv
: -------=m---- 來計算
: r^2 dt
: 又v=dr/dt 積分一下 所以r=R+vt R為地球半徑 代入做計算
: 時間是一個小時...可以解得速度 在求得距離
: 要求解的話...應該是需要工程數學來...這個部分我已經忘了~~
: 有強者可以幫算嗎XD
: 有錯請指教~
GMm d^2 r
- ------- = m ---------
r^2 dt^2
二邊乘上 dr/dt，對t積分
∫(- GMm/r^2 dr/dt) dt = GMm/r
m∫ (d^2r/dt^2) (dr/dt) dt
= m (dr/dt)^2 - m∫ (dr/dt) (d^2r/dt^2) dt
=> m∫ (d^2r/dt^2) (dr/dt) dt = 1/2 m (dr/dt)^2
因此
GMm/r = 1/2 m (dr/dt)^2 + E
或者寫成
1/2 m (dr/dt)^2 - GMm/r = E
或是直接用力學能守恆，也可以得到這個式子
=> dr/dt = ±√[2(E/m+GM/r)]
其中
E = 1/2 m v0^2 - GMm/Re
v0 為初速度，Re為地球半徑
最高點 Rmax = - GMm/E
上升和下降所需時間相同
R
Δt = 2∫ (1/√[2(E/m+GM/r)]) dr
Re
令 u = √[2(E/m+GM/r)]
-2GMu du
dr = --------------
u^2 - (2E/m)
代入，再用部份分式法積分(恕不贅述)
然後經過 !@#$%^& 的計算，把上下界代進去
就可以得到原po想要的答案
(積分參考結果 by mathmatica:
Integrate[1/Sqrt[2*(E/m + (g*m)/x)], x] ==
((m*Sqrt[E/m + (g*m)/x]*x)/E - (g*m^(5/2)*Log[g*m^3 + 2*E*m*x +
2*Sqrt[E]*m^(3/2)* Sqrt[E/m + (g*m)/x]*x])/(2*E^(3/2)))/Sqrt[2]
)
不過我是不覺得這個計算有什麼意義啦，就只是微積分練習而已
: ※ 引述《alenbe (生活)》之銘言：
: : 今天看電影台看到「少林足球」，很經典的一部電影
: : 發現裡面有一幕與物理有關，大家可以算算看～
: : 請看此影片中約00:55～01:30
: : http://www.youtube.com/watch?v=jXV5Cc37RRo
: : 教練正集合大家準備練球
: : 結果周星馳一拿到球，太興奮了
: : 球往上一踢...
: : 讓大家等了一個多小時，球才落回地面 = ="
: : 若從物理的角度來思考
: : 你有辦法估計球的初速？與飛行高度嗎？:)
: : 影片中教練有提到
: : 如果球亂踢，搞不好飛機都會被擊落...
: : 根據上面的數據，此球有可能飛到飛機飛行的高度嗎？
: : 若可以飛這麼高，請問此球擊中飛機時的速度為何呢？ :)
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Heisenberg was driving down the Autobahn whereupon he was pulled over by a
policeman. The policeman asked, "Do you know how fast you were going back
there? Heisenberg replied,
"No, but I know where I am."
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.213.158