作者mantour (朱子)
看板Physics
標題Re: [題目] 一題靜電感應
時間Thu Apr 15 19:58:56 2010
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言：
: 題目滿簡單，我敘述一下，沒有圖。
: 一半徑為R的空心金屬球殼，原不帶電。
: 今將-Q的點電荷移至距球心3R處，且將
: 球殼接地，則球殼上的感應電荷量為何？
: Ans:Q/3
: 我的想法：
: 接地用意 → 告訴我們，球殼上和球殼內，所有位置電為均為0。
: 這個條件可以拿來解球殼帶電q(假設球殼接地後總帶q)。
: 但接下來，就是我卡住的地方。
: 根據靜電的知識，在平衡狀態的時候，這時候球殼上靠近-Q的一端，
: 應該是帶了些正電，但是是不均勻的。
: 這樣我要怎麼算，才能利用V=0的條件去解出q呢？
這個問題要用到靜電學中重要的唯一性定理
也就是說「滿足給定邊界條件的電場/電位分布是唯一的」
這題中我們首先要求出球殼和點電荷形成的電場/電位分布
假設球殼外的電位分布為V(x,y,z)，球殼內的電位為0
→
球殼外電場 E(x,y,z) = - ▽V
E要滿足的二個條件是
1. 高斯定律：
對球殼外的任意高斯面S
→ → 0 , 若S沒有包住-Q
∮ E ‧dA = {
S -Q/ε_0 , 若S包住-Q
或者寫成微分形式：
→
▽‧E = -Q/ε_0 δ(x-3R,y,z) ， for x^2+y^2+z^2 > R^2
→
E = 0 ， for x^2+y^2+z^2 <= R^2
2. 邊界條件
i) 無窮遠處V=0
ii) 球面上 V=0
唯一性定理告訴我們，符合1. 2. 二個條件的V(x,y,z)是唯一的
所以我們不管用什麼方法只要能湊出一個符合這二個條件的解，它就是正確答案
而湊的方法有很多，不同問題會用不同方法
在這題中我們可以用一個叫做「像電荷」的方法
這個方法來自一個幾何學的性質：
與空間中二點等距的點構成一個平面
與空間中二點距離等比例的點構成一個球面
http://en.wikipedia.org/wiki/Apollonian_circles
因此
如果在空間中放一個假想的點電荷 q' , 0 < q' < Q
那麼 q' 和 -Q 共同形成的電場的的零位面就會是一個包圍q' 的球面
(但球心並不在q'上)
假設我們把 q' 放在 (r,0,0) ， -Q放在 (3R,0,0)
選擇適當的 q' 和 r，使得
kq' -kQ
----------------------- + -------------------------- = 0
√[(x-r)^2 + y^2 + z^2] √[(x-3R)^2 + y^2 + z^2]
是一個以原點為圓心，半徑為R的圓
那麼
在球面外，q'產生的電場不會對封閉曲面上的電通量沒有供獻
因此q'和-Q共同產生的電場依符合上面的條件1.
而在球面上，q'和-Q產生的電位互相抵消，因此符合條件2.
但由於在球面外同時滿足1.和2.的電場分布是唯一的
因此我們知道，感應電荷產生在球殼外部產生的電場
與假想電荷q'在球殼外產生的電場是相同的
也就是說：
「球殼外的點電荷產生的感應電荷在球殼外所產生的電場
會等於一個球殼內部的假想點電荷產生的電場」
要解出這個假想點電荷的位置和電量
我們可以把V寫為
0 , 當 x^2 + y^2 + z^2 <= R^2
V(x,y,z) = {
kq' -kQ
----------------------- + -------------------------- , 其他時候
√[(x-r)^2 + y^2 + z^2] √[(x-3R)^2 + y^2 + z^2]
其中只要代入 V(R,0,0) = 0 和 V(-R,0,0) = 0
就可以解出 q' 和 r
解出來 q' = 1/3 Q
有了電場就可以反求感應電荷實際的分布
由於電場垂直於球面
在球面上取一個很小的圓柱，利用高斯定律
可以求得球面上任何一點的面電荷密度 σ = ε_0 E， E是該點的電場大小
再來要求感應電荷的總量
當然你可以用上面的σ去積分
不過這邊我們可以再次使用高斯定律
用一個高斯面包住整個球殼
因為在球殼外高斯面上的電場和像電荷產生的電場相同，因此高斯面上的電通量就是
q'/ε_0
又高斯面上的電通量應該等於實際上高斯面內的總電荷，也就是球殼上的總電荷
因此球殼上的感應電荷會等於我們假設的球殼內的假想點電荷 Q/3
因此最後整理一下結論：
「球殼外的點電荷產生的感應電荷在球殼外所產生的電場
會等於一個球殼內部的假想點電荷產生的電場，假想點電荷的電量和位置，
可以利用球殼上電位為0求出，
且感應電荷的總量會等於假想點電荷的電量」
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (04/15 20:00)
推 Beachboy:推在這篇。加上上一篇的推文，讓我回憶起電磁學的鏡像法 04/16 12:17
→ Beachboy:和唯一性定理。但，這題是出在一本高中講義，沒有高中電 04/16 12:18
→ Beachboy:磁學的解法嗎？ 有點疑惑....或者如何講解這題? 04/16 12:19
推 Griffiths1:就用上篇的推文 講給高中生聽 04/16 15:43
推 Beachboy:但要怎麼解釋"感應電荷對球心的電位" 就可以用Kq/r? 04/16 16:03
→ Beachboy:因為這時候不是不均勻的嗎? 04/16 16:04
推 binladn:雖然為不均勻的但都分布在球表面，可以想像成有Q1、Q2、Q3 04/16 16:14
→ binladn:......等感應電荷分佈在在球表，因此對球心造成的的電位為 04/16 16:15
→ binladn:kQ1/R +KQ2/R+KQ3/R Q1+Q2+Q3+...即為總感應電荷 04/16 16:16
→ mantour:喔喔 樓上好方法！ 04/16 16:51
→ mantour:從來沒想過這個方法 04/16 16:52
推 Beachboy:驚! 這樣對耶，我怎麼完全沒去想到... 04/16 17:30