Re: [問題] Find eigenfunction of some operator

[mantour (朱子)]

※ 引述《oolontea (極樂娃娃)》之銘言：
: 一個類似的問題想請要版友：
: 我們說一個OPERATOR是把一個KET做TRANSFORM
: 例如TRANSLATION OPERATOR把一個KET平移DX
: (這些TRANSFORMATION的形式好像都是exp(-iO/hx))
: 如果講到某個MEASUREMENT的OPEARTOR，狀況似乎不太一樣
: 例如SPIN OPERATOR Sz的EIGENKET=|+>、|->
: 而Sx的EIGENKET = 1/sqrt(2)(|+> ±|->) 為方便，表成|x+>, |x->
: 假設我現在用Sx MEASURE一個INITIAL KET=|+>
: 你得到的會是P(sx=h/2)=1/2, P(sx=-h/2)=1/2.
: 而後來的KET會變成Sx的一個EIGENSTATE，就是|x+> 或 |x->
: (量力的基本假設之ㄧ)
: 但如果直接把Sx作用在|+>上，則數學式子完全不同
: Sx=h/2(|+> <-| + |-> <+|)
: Sx˙|+> = h/2|-> ==> 和基本假設不同
: 請問這之間的規則是怎樣呢??
: 為什麼有的OPERATOR (例如前述說的TRANSLATION OPERATOR)
: 可以直接作用在KET上，而有的OPERATOR不能直接作用在KET上
: (這邊的作用是只以數學操作而言。)
: 我的想法是，只有UNITARY OPEARTOR可以直接作用在KET上
: 這代表他把KET做了一些轉換；已經不再是原本的KET
: 而HERMITIAN OPEARATOR作用在KET上時(一般是MEASUREMENT)
: 他的數學式子的解釋和一般的不同。
: 為什麼會有這樣的差別呢?
: 不都是同樣對KET做一些OPERATION嗎?

對一個量子態|φ> 量測物理量A

和把operator A作用於|φ>

是不同的兩件事

量測物理量A的結果

是使這個量子態變成A的一個本徵態

而不是使他變成 A|φ>

量子力學中我目前還沒有學到很好的描述|φ>「如何」變成A的本徵態的數學表示

我們就僅僅是說他會變過去，而且變成|a_i> 的機率是 |<a_i|φ>|^2


而A作用於|φ>的方式和其他任何operator是沒有差別的，

只是作用出來的東西的物理意義和你所想的不一樣

A = Σa_i |a_i><a_i| , |a_i> 為 A的本徵態

A|φ> = Σa_i <a_i|φ> |a_i>

因此 A|φ> 是把|φ> 分解成 A的本徵態的線性疊加

再把各個成份乘上各自對應的本徵值

而 <φ|A|φ> = Σa_i <a_i|φ> <φ|a_i> = Σ|<a_i|φ>|^2 a_i

其中 |<a_i|φ>|^2 就是對|φ> 測量 A得到結果為a_i的機率

因此 Σ|<a_i|φ>|^2 a_i

正好就是對|φ> 測量A所得結果的期望值

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◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour         來自: 140.112.213.158      (04/27 12:17)
推 youmehim:應該是 A = Σ a_i |a_i><a_i| ?
→ mantour:謝謝  已更正
※ 編輯: mantour         來自: 140.112.213.158      (04/27 12:28)
推 oolontea:感謝..所以以"量測"此定義而言，還沒有對應的數學算是囉
→ oolontea:只能說，經過量測，STATE會變成EIGENSTATE，以相應的機率
→ oolontea:測到相應的EIGENVALUE
→ oolontea:                                          數學算式