作者mantour (朱子)
看板Physics
標題Re: [問題] reduced mass
時間Thu May 6 00:15:43 2010
※ 引述《as77000 (as77000)》之銘言：
: 想請問一下關於 reuced mass 的一個觀念
: 當把其中一個物體看成 REDUCED MASS時 另外一個物體的質量是看成無限大
: 還是m1+m2
: 如果是m1+m2 可以用萬有引力定律 去解釋
: 但
: 這樣他們之間的質心 不就有在運動(以 雙星運動為例)
: 所以看成無限大比較合理吧 因為此時系統總動能 剛好是質心座標下的動能
: 但這不就無法解釋萬有引力定律
你可能對reduced mass的觀念不是很清楚
以高中來說 reduced mass 比較好的描述應該是這樣的：
「
二質點只受彼此間作用力與反作用力，而不受其他外力時，二質點間的相對運動
與一個質量為reduced mass，受力與二質點間交互作用力相同的假想質點的運動相同
」
簡單的推導如下：
二個質點質量分別為 m1和m2
他們二個分別都只受二者之間的作用力與反作用力，不受其他任何外力
也就是說：
m1a1 = F21
m2a2 = F12 = -F21
因此
a1 = F21/m1
a2 = -F21/m2
(a1-a2) = F21 (1/m1 + 1/m2)
令 1/μ = 1/m1 + 1/m2
則
μ(a1-a2) = F21
然後重點來了：
這個意思是說我們可以假想有一個質量為 μ的質點
當它的受力等於 m2 給 m1的力(F21)時
它的運動就會與 m1 相對於 m2 的運動相同！
這個假想的質點跟實際上的系統一點關係也沒有
它的受力是怎麼來的實際上也不需要去考慮
它完全是我們假想出來的系統，只是藉由這個系統我們可以求出m1和m2的相對運動而已
因此reduced mass的受力，是由原本的系統中m2給m1的力來決定，而和本來的題目
中受力的來源沒有關係
以雙星運動為例
我們假設有一個質量為μ=m1m2/(m1+m2)的質點，它的受力不一定要是重力，
我們可以把它綁在一個特製的橡皮筋上，這個橡皮筋的彈力和長度的關係恰好是
F = - Gm1m2/r^2，而橡皮筋的另一端，就當作固定在我的桌上好了
根據我們前面的推導，這個假想質點的運動就會剛好和m1相對於m2的運動是一樣的
我們只是利用這個假想質點綁在橡皮筋上的系統，去求原系統中m1和m2的相對運動
這就跟我們利用一個假想圓周運動的投影，去求彈簧的簡諧運動一樣
我們不會去問reduced mass的受力是怎麼來而是直接令它等於F21，
就如同我們不會去問假想圓周運動的向心力是什麼，而是直接令它的角速率為√(k/m)
一樣，重點在於我們這樣令了以後，這個假想的運動可以幫助我們去求本來
所要求的本來的運動
希望以上的討論可以解決你的問題 :)
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◆ From: 140.112.213.158
推 Ertkkpoo:所以說系統（此兩質點）若有受外力，減縮質量不復存在？ 05/06 00:21
→ mantour:我不會這樣說，我會說這時reduced mass的概念比較沒有用 05/06 00:30
→ mantour:reduced mass只是個概念，本來就沒有存不存在的問題 05/06 00:30
→ mantour:也有一些特別的情況，例如二質點在一均勻重力場中 05/06 00:31
→ mantour:還是可以用reduced mass 05/06 00:31
推 kosaika:比如像什麼樣的例子？在高中只知到雙星、雙質點振盪. 05/06 00:33
推 Ertkkpoo:內動能也有 05/06 00:34
推 h888512:推 05/06 00:34
→ kosaika:對，內動能跟雙質點是同一個例子~ 05/06 00:35
→ mantour:鉛直的雙質點，就是系統有受外力但仍然可用reduced mass 05/06 00:43
→ mantour:的例子 05/06 00:43
→ mantour: 雙質點振盪 05/06 00:43
推 yjn145:推 05/06 00:59