Re: [問題] 球殼的電位

[Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)]

※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言：
: 突然在想
: 如果要用積分，找出均勻帶電球殼外任一點的電位，這在大一普物算得出來嗎？
: 利用 ∫kdq/r 算出  V = kQ/r (假設總帶電是Q)
: 不能用E算。
: 想了一陣子，覺得好像很難算。

    2ππ R        2                 R           2
Q =  ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
      0 0 0                          0

   R     Q          2         Q
= ∫ ───── 4πr dr = ───── 4/3 π R^3 = Q
   0 4/3 π R^3           4/3 π R^3


       2ππ r        2                 r           2
q(r) =  ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
         0 0 0                          0

   R     Q          2         Q                   4/3 π r^3
= ∫ ───── 4πr dr = ───── 4/3 π r^3 = ───── Q
   0 4/3 π R^3           4/3 π R^3              4/3 π R^3

r>R

   →  →            2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
 S

   →  →    Q                             Q
∮ E ．dS = ── (高斯定律) => E(r) = ───── = kQ/r^2
 S          ε0                       4πε0 r^2

       ∞ →  →   ∞
V(r) = ∫ E ．dr = ∫ kQ/r^2 dr = 0 - ( - kQ/r ) = kQ/r
        r           r

V(R) = kQ/R

r<R

   →  →            2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
 S

   →  →   q(r)    Q   4/3 π r^3                          Q    r
∮ E ．dS = ── = ── ───── (高斯定律) => E(r) = ───── = kQ r/R^3
 S          ε0    ε0  4/3 π R^3                       4πε0 R^3

                                         r           →      r        →
E(r) = - ▽ V(r) => ▽ V(r) = - E(r) => ∫ ▽ V(r)．dr  = - ∫ E(r)．dr
                                         R                   R

               R →     →
V(r) - V(R) = ∫ E(r)．dr
               r

        R →     →          R
V(r) = ∫ E(r)．dr + V(R) = ∫ kQ r/R^3 dr + kQ/R
        r                    r

     = (1/2) kQ R^2/R^3 - (1/2) kQ r^2/R^3 + (1/2) kQ 2R^2/R^3

     = (1/2) kQ/R^3 ( 3R^2 - r^2)

: 另外，對於不均勻分佈的帶電球殼(總電量仍Q)，
: 球殼外距圓心r處的電位V結果仍是V = kQ/r嗎？
: 整個忽然卡住XD

設電荷密度只與 r 有關：ρ(r)

    2ππ R        2                 R           2
Q =  ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
      0 0 0                          0

       2ππ r        2                 r           2
q(r) =  ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
         0 0 0                          0

r>R

   →  →            2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
 S

   →  →    Q                             Q
∮ E ．dS = ── (高斯定律) => E(r) = ───── r = kQ/r^2
 S          ε0                       4πε0 r^2

       ∞ →  →   ∞
V(r) = ∫ E ．dr = ∫ kQ/r^2 dr = 0 - ( - kQ/r ) = kQ/r
        r           r

V(R) = kQ/R

r<R

   →  →            2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
 S

   →  →   q(r)                         q(r)
∮ E ．dS = ── (高斯定律) => E(r) = ───── = kq(r)/r^2
 S          ε0                       4πε0 r^2

                                         r           →      r        →
E(r) = - ▽ V(r) => ▽ V(r) = - E(r) => ∫ ▽ V(r)．dr  = - ∫ E(r)．dr
                                         R                   R

               R →     →
V(r) - V(R) = ∫ E(r)．dr
               r

        R →     →          R
V(r) = ∫ E(r)．dr + V(R) = ∫ kq(r)/r^2 dr + kQ/R
        r                    r

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馬克斯威爾方程式：
             　 → 　　　　　　　　　　　　　 →
高斯定律：  ▽．D = ρ　　　  　磁線封閉：▽．Ｂ = 0
                →      →                    →  →    →
法拉第定律：▽× E = - ∂ B /∂t   安培定律：▽× H = J + ∂ D /∂t

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.161.246.146
推 xgcj:簽名檔用偏微符號會比較好~
※ 編輯: Frobenius       來自: 118.161.246.146      (06/09 23:07)
→ xgcj:對了如果電荷密度不是對稱的~那不能將E(r)直接從積分中提出來
→ Frobenius:電荷密度如果不是對稱的那就跟角度θ、φ有關
→ xgcj:吧!因為你也不能確定電場是對稱的!不過在無窮遠的漸進行為因
→ xgcj:該還是平方反比率
→ Frobenius:在這裡都只假設電荷密度只與距離r有關，所以可直接提出
→ xgcj:這正是我要說的
→ Frobenius:如果跟角度有關，算高斯定律那裡就要真的算面積分XD
→ xgcj:那還要用Legendre+exp展開球極座標想到就快睡著了
→ xgcj:Beachboy最後問的應該是要解Laplace eq不過球殼電荷就要用
→ xgcj:Dirac delta function表示了~嘿嘿~到時候解起來剛好可以來殺
→ xgcj:時間
→ Frobenius:不透過電場直接算電位也就是解拉普拉斯方程或波松方程XD
→ Frobenius:大一普物的電磁學應該不會考到大二電磁學的東西吧XD
→ xgcj:不過最有SENSE的解法應該是要用GREEN FUNCTION解~只要你會積
→ xgcj:就解出來了
→ Frobenius:GREEN FUNCTION 我看很多人大四畢業還不太會用 囧
→ xgcj:不過這一題用GREEN FUNCTION好像不太實際~還是用Legendre慢慢
→ xgcj:展開對係數好了~
→ Frobenius:如果說跟角度無關，用本篇方法或解波松方程結果一樣
→ Frobenius:如果說跟角度有關，就只能用波松方程解(ρ=0是拉普拉斯)
→ xgcj:解電磁學題目時最喜歡遇到跟角度無關的題目了~
→ Frobenius:跟角度無關=> 解ODE  跟角度有關=> 解PDE  差很多XD
→ xgcj:△V=ρδ(r-R)f(θ,φ)<=他的問題  這樣還要用正交性先將f分
→ xgcj:解。然後變數分離之後對徑向方程的delta作積分之後才比較係數
推 feynman511:不是球"殼"嗎
→ Frobenius:△V=▽^2 V=ρ(r,θ,φ)δ(r-R) (無法分離變數將更複雜)
→ Frobenius:球殼就是所謂的V(R) （在此假設與角度無關所得出的結果)
→ Frobenius:以大一的程度來算跟角度無關的只與距離有關的就很不錯了
→ Frobenius:其實本篇還得考慮是否為導體還是非導體
→ xgcj:因為是殼所以才有delta fuction讓電荷集中在殼上~
→ Frobenius:在此篇的例子應該是非導體
→ xgcj:如果導體又有外加磁場時那就算是導體也會有電荷分佈
→ xgcj:打錯~是電場
→ Frobenius:幸好本題沒有外加電場或磁場XD
→ xgcj:加了就GG了XD
推 xxxEVA:偏微符號怎麼打出來的？
→ Frobenius:∂前面加任意中文就會顯示：∂
→ Frobenius:∂
推 nightkid:∂
→ nightkid:科∂
→ nightkid:那你第一個∂是怎麼打出來的阿?
→ Frobenius:∂
→ Frobenius:先打
→ Frobenius:∂
→ Frobenius:再打科在上面那字之後
→ Frobenius:再把
→ Frobenius:∂
→ Frobenius:取消
→ Frobenius:再貼一次
→ Frobenius:∂
→ Frobenius:∂科
推 nightkid:∂科
→ nightkid:真的~~~~~Magic!!!!
推 h888512:∂科
→ h888512:∂喔/∂喔
※ 編輯: Frobenius       來自: 118.160.212.8        (06/19 22:46)
推 s23325522:口國
→ s23325522:∂科科
→ s23325522:∂
※ 編輯: Frobenius       來自: 118.161.242.244      (05/19 21:35)
→ sneak: 展開對係數好了~ https://noxiv.com
→ sneak: 跟角度無關=> 解OD https://daxiv.com
→ sneak: 以大一的程度來算跟角度 https://daxiv.com
→ sneak: 如果跟角度有關，算高斯 https://daxiv.com
→ muxiv: 先打 https://moxox.com