Re: [好奇] 跟距離平方成反比

[xgcj (xgcj)]

萬有引力，電磁交互作用力。基本上我們現在物理中的交互作用都是經由

規範波色子來傳遞，而我們現在簡化這個問題把造成平方反比的結構留下

來(不考慮規範項和規度或其他更複雜的東東)，所以我就用Klien-Gordon

的模型來解釋。

考慮兩個φ2粒子散射

中間力的傳播是靠φ1

兩個φ2粒子分別以動量P1 P2入射後再以P3 P4出去

(不考慮s,t,u channel)


＼                                    ／
  ＼↖P2           1                ／
    ＼          _________         ／↗P4
      ＼         P^2-m^2        ／
        ＼                    ／
          ）----------------（  -ig
        ／        P → ↖     ＼
      ／    -ig          ＼     ＼
    ／                     φ1    ＼
  ／↗ P1                           ＼↖P3  φ2
／  φ2                               ＼

交代一下Lagrange

L=(1/2)∂(φ1)∂(φ1)-(1/2)(m)^2(φ1)^2
  (1/2)∂(φ2)∂(φ2)-(1/2)(m2)^2(φ2)^2
   -(g)(φ1)(φ2)^2    <=交互作用項


(這裡大寫P均表示為四為空間中的向量，小寫為三維向量)


P1-P2=P=P4-P3

(考慮牛頓極限下)

由於是低能量的狀態所以P1≒(m2,p1),P2≒(m2,p2),P3≒(m2,p3),P4≒(m2,p4)

姑且令P1-P2=P=(m2-m2,p1-p2)≡(0,k)

傳播子:
    1           1           -1
_________=_____________=__________
 P^2-m^2   0^2-k^2-m^2    k^2+m^2

然後你跟Born的散射理論比較後

得到
        -g^2
V(k)=___________
       k^2+m^2

這剛好是V(r)的複利業轉換



        (d^3)q      -g^2         → →
V(x)=∫_________ ___________exp(i k x)
       (2π)^3     k^2+m^2

  -g^2    exp(-mr)
=_______*_________
   4π       r


(中間過程用球極座標)，積分上下限為±∞)

如果中間傳播的粒子質量為0(m=0)



         -g^2
那V(r)=_________ 剛好就是平方反比率的由來
         4πr


如果以電磁學來說的話g就相當於e這裡g有兩個其實是

我們多考慮了一個交互作用(兩個頂點)

把他求梯度後你剛好有個1/(4πr^2)出現

所以平方反比率和光子沒有靜止質量是等價的





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◆ From: 140.113.89.27
推 c06jo:推專業
推 zealeliot:好難懂...再看幾遍
推 harry901:快推  不然以免被人發現我不懂...
推 HDT:我還真的看不懂= =
→ xgcj:我大概說一下，主要是我將量場中的結果去跟量力做比較，然後
→ xgcj:得到位能的公式，在反推光子沒有值兩和平方反比是等價的。
→ xgcj:裡面的重點是後面兩條式子。
→ xgcj:我前面的費曼圖則是交代整個交互作用的進行是怎樣子。
推 chungweitw:不懂得看一下 en.wikipedia.org/wiki/Proca_action
推 HDT:...應該說 如果我看得懂的話就太威了=A= 雖然我也希望能威一點
→ xgcj:Proca field是帶有mass的向量場，所以比這個case又更複雜些。
→ xgcj:但是她可以來描寫帶有mass的光子。
推 ftsywind:推專業
→ mouwat:學弟...你先準備面對下學期的電磁力學物數...
→ mouwat:你才大一  這你畢業都不一定會懂了...
→ xgcj:學弟是誰呀??
→ mouwat:上面喊不懂的其中一位..
推 HDT:(舉手)沒意外在說我...
→ xgcj:這是第一次在這PO文~希望大家可以給一些意見
→ m06:mou大的推文讓我以為在說原po...想說哪間大學大一教這麼多XD
推 sunev:這樣算有解釋嗎？
推 vivaptt:<(_ _)>
推 zealeliot:對阿 看好幾遍 我也想問一下 這樣算有解釋到嗎? = =
推 euphrate:可以問一下 你的∂是怎麼打的嗎 !
→ nightkid:16452有教怎麼打partial
→ nightkid:當然有解釋到阿 推到V = k/r  => F = grad.V = k/r^2
→ sunev:我的意思是，你要怎麼說明你的action是合理的
推 sunev:難道不可能存在無質量粒子又不是平方反比的action嗎？
→ zealeliot:可能是這個action可以推出平方反比力 就當作是對的吧?
→ ggk:我想問光子質量為零是不是假設P=(0,k)嗎? (沒學過量場)
→ ggk:難得有好文  xgcj要不要開個課啊  XD
推 youmehim:那邊討論粒子 因為取低速情況 質量≒靜止質量 相減變成零
→ youmehim:代入光子質量為零是在 把位能轉回ordinary space時代入
→ xgcj:在這裡我只是將為什麼是平方反比的結構點出來，波色子的傳遞
→ xgcj:子，有1/P^2的這種結構，這就是導致平方反比最注要原因，至於
→ xgcj:我寫出來的Lagrange只是交代一下我的Feynman rule。
→ xgcj:你所說的非r平方反比也是可能的，會導致1/(r^2)的原因我還有
→ xgcj:一點要補充說明，你在將V從動量空間轉到座標空間時，作一下
→ xgcj:因次分析。(動量的因次是長度分之一)所以在d維底下
→ xgcj:變換過去的位能因次為2-(d-1)
→ xgcj:這樣一來你在4維空間中的位能因次就是長度分之一但是這並不
→ xgcj:表示你的位能就遵守平方反比率，因為她前面可能有個無因次的
→ xgcj:函數，我們剛剛也看到了如果有靜止質量話，位能還要有個exp
→ xgcj:的decay，所以就這個世界來說你要滿足平方反比率的條件就是
→ xgcj:(1)你必須是4維空間(2)你的Boson必須沒有靜止質量
→ xgcj:ggk這裡有一點要注意diagram裡的中間線代表的是虛粒子所以不
→ xgcj:會滿足你想的P=(0,k)的樣子，但是如果越接近p^2+m^2=(p0)^2
→ xgcj:那這個虛粒子在計算中暫的比重就越高。
→ xgcj:上面一行應該說使propagator佔的比重變較大(你可以觀察一下)
→ xgcj:我做個說法的比較好了這裡做一點數學的小推導，得到的結果維
→ xgcj:V~r^(3-d) (無質量時)而這表示你的光子(我用光子這個詞)在時
→ xgcj:間前進時(吃掉一個維度)沿這徑向傳播(又吃掉一個維度)所以得
→ xgcj:到了E~r^(2-d)~∂(V(r))~∂(r^(3-d))的結果
→ leo80042:樓上在文章中的交互作用項是不是多寫了一個平方？
→ xgcj:沒有阿~你看一個頂角是接兩個φ2~
→ kuromu:傳播子就不懂了QQ
→ xgcj:你可以想像傳播子(propagator)就是互相交換虛光子
推 andy2007:好厲害 好難!!
→ kuromu:請問傳播子的公式是怎麼得到的  很複雜嗎.....QQ
推 sukeda:考慮相對論的薛丁格方程式...    不要問  很可怕
推 Frobenius:考慮相對論的薛丁格方程式(迪拉克方程式) #1By3Sx2r
推 sunev:如果propagator是從Driac eq來，那這不就已假設平方反比了嗎
→ chungweitw:Lorentz invariance requirement?
推 kuromu:我看維基上的Non-relativistic propagator 怎麼有這麼多= =
→ kuromu:[Hx-ih∂/∂t]K(x,t,x',t')=-ihδ(x-x')δ(t-t')
→ kuromu:K(x,t,x',t')=∫exp[(i/h)∫Ldt]D[q(t)]
→ kuromu:Ψ(x,t)=∫Ψ(x',t')K(x,t,x',t')dx'
→ xgcj:基本上有兩種做法(1)Path integral(2)time evolution operato
→ xgcj:r,這兩種做法得到的結果是一樣的。如果想單純一點，你可以看
→ xgcj:Peskin的第二章，這章用到的數學只有複變而已。
推 leo80042:太酷炫了，所以(φ2)^2可以看成是source嗎
→ xgcj:那一項是interaction term,你在做path integral時會在action
→ xgcj:中的各的場分別加上sourse term，然後的得到各個場的傳播子
→ xgcj:之後你用functional derivative展開，你會發現頂角是本身就是
→ xgcj:各個field的sourse產生的地方
→ xgcj:我發現這樣好難解釋得乾淨喔!講個大概感覺比沒講還糟
→ ggk:我看懂結果了...多謝
推 leo80042:xgcj大說的頂角就是三條線相接的地方嗎?
→ xgcj:對阿~
推 evecorkey:剛剛瞄到推文還以為這篇是大一的學生po的  我差點跪下來
→ xgcj:^^/是不是大一不重要啦~
推 PhySeraph:nice one! 理解ing..
→ xgcj:回來朝聖自己文章                                     2012
→ sneak: 剛剛瞄到推文還以為這篇 https://noxiv.com
→ sneak: r,這兩種做法得到的結 https://daxiv.com
→ sneak: 你所說的非r平方反比也 https://daxiv.com
→ sneak: 快推  不然以免被人發 https://daxiv.com
→ sneak: Lorentz inv http://yofuk.com
→ muxiv: ^^/是不是大一不重要 https://muxiv.com