[問題] 請問格林函數

[kuromu (kuromu)]

我本來以為格林函數是在解

L[f(x)]=g(x)  時

先解

L[G(x,s)]=δ(x-s)

然後解就可用

f(x)=∫G(x,s)g(s)ds

表示







但是看到解擴散方程式的時候

L[c(x,t)]=0


解用

c(x,t)=∫G(x,x',t)c(x',0)dx'

表示

也說其中的G(x,x',t) 是格林函數

好像說是解impulse initial condition   c(x',0)=δ(x-x')  的解






但是這兩種情況格林函數好像有點不同

有點疑惑


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.173.159.221
推 qna:不算是不同 完整的Green fn 是可以包含這兩者
→ qna:舉例來說 如果你第一個例子 還要考慮邊界怎麼辦(不取無窮遠)

(不知道有沒有更一般性 對任意算子的解用格林函數
表示的推導?)

(我看Heat Equation是這樣說)


解

∂           2
---u(x, t)=▽ u(x, t)+g(x,t)    in Ω
∂t

u(x, 0) = f(x, t) in Ω

u(x, t) = h(x, t) on ∂Ω

格林函數是

∂              2
---G(x, t)= - ▽ G(x, t)
∂t

G(x,t)=0 on ∂Ω

G(x,t0) = δ(x-x0)





然後就用

 t      ∂            t        2           t
∫ ∫ G ---u  dxdt = ∫ ∫ G ▽ u  dxdt + ∫ ∫ G g  dxdt
 t0 Ω  ∂t           t0 Ω                t0 Ω


分部積分得
                                 t         ∂G          t
u(x0,t0)=∫ f G(x,x0;0,t0) dx - ∫ ∫    h ---dS(x)dt +∫ ∫  G g dxdt
          Ω                     t0 ∂Ω   ∂n          t0 Ω



※ 編輯: kuromu          來自: 218.173.162.25       (06/14 17:55)