→ xgcj:所以這題震盪的位置不是在原點~ 06/27 18:54
推 retryi12:推! 06/27 19:34
→ xgcj:當然還需要加上一點能量才會做震盪~ 06/27 19:36
推 dskphy123:推 06/28 02:55
※ 引述《retryi12 (WOW)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 TransPhys 看板 #1C9mTQc8 ]
: 作者: retryi12 (WOW) 看板: TransPhys
: 標題: [考古] 93中興
: 時間: Sun Jun 27 16:09:59 2010
: A particle of mass m moves in a one-diemensional potential
: V(x)=-ax^2+bx^4,where a and b are positive constants.
: Show that the angular frequency of small oscillations
: about the potential is equal to 2(a/m)^1/2
: 我算出來答案差二倍~
: 麻煩一下摟~
這個位能的最低點並不是在原點~而是在題原點一段距離的地方
這個地方剛好是位能微分等於0的地方
(d/dx)V(x)=0|x0 =>x0=±√(a/2b)
所以粒子會在x0這個地方做小幅度的震盪
﹒
(1/2)m(x)^2-ax^2+bx^4=E
其中E可以分成在x0上的零點能E0加上一點小能量E1
E0可由V(x0)得到
V(x0)=-(a^2)/(4b)=E0
我們令x0+y=x=√(a/2b)+y，和E=E0+E1=-(a^2)/(4b)+E1代入上面
﹒
(1/2)m(x)^2-ax^2+bx^4=E
這條式子
展開後我們忽略y的高次項(三次及以上)
﹒
(1/2)m(y)^2-a(√(a/2b)+y)^2+b(√(a/2b)+y)^4=-(a^2)/(4b)+E1
﹒
(1/2)m(y)^2-a[a/2b+2√(a/2b)y+y^2]+b[a^2/4b^2+(2a/b)√(a/2b)+(3a/b)√(a/2b)
^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^
這兩項會消掉
+4√(a/2b)y^3+y^4]=-(a^2/4b)+E1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這兩項忽略掉(高次項)
﹒
=>(1/2)m(y)^2-(a^2/2b)-ay^2+(a^2/4b)+3ay^2=-(a^2/4b)+E1
^^^^^^^^^ ^^^^^^^^ ^^^^^^^^^
這三項會消掉(0點能項)
﹒
=>(1/2)m(y)^2+2ay^2=E1
﹒﹒
對時間做微分=>m( y )+4ay=0 很明顯的ω=√(4a/m)
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