作者ed78617 (雞爪)
看板Physics
標題Re: [題目]電磁學，求磁場的vector potential
時間Fri Jul 16 18:18:06 2010
※ 引述《ed78617 (雞爪)》之銘言：
: [領域]靜磁 (題目相關領域)
: [來源]台大考古題版看到的 (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]
: A long cylinder of radius R with charge density ρ(s) = a/s rotates
: around its axis, the z-axis, with angular velocity ω.(a is a constant)
: The permeability of the cylinder is μ.
: Find the vector potential A inside and outside the cylinder, assume ▽．A = 0.
: [瓶頸] (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
: 利用∮A．ds = ∫B．da
: 而對於ds，電流為(a/s)*2πsl*(ω/2π)
: 但不知道怎麼求磁通量，因我認為柱面上的電流會互相干擾
: 煩請高手為我解惑
感謝variation大提供，不過中心軸的磁場積分我求不出解，所以有些不確定：
題中已經給定了電荷密度，而且圓柱不是導體的
因此旋轉產生的等效電流不會互相干擾
我這樣做:求出中心軸上的磁場，
再用安培環積場定律求其他位置磁場，
才利用∮A．ds = ∫B．da求A
1.取圓柱座標，帶電圓柱中心軸就是z軸，角速度方向向正z方向
位置z的平面上，半徑s，截面積 dzds 的等效電流為
(a/s)．dz．ds．2πs / (2π/ω) = aω．dz．ds
在原點處的磁場為(z:-∞~+∞；s:0~R；其方向向+z)
B(r=0) =∫∫μ0 ( aω．dz．ds )．2πs．s / (z^2+s^2)^(3/2) = μ0 aωR
2.用安培環場積定律，取矩形路徑(h ×r)，h與中心軸重合
r h
B(r=0) h - B(r) h = μ0 I = μ0 ∫∫aω．dz．ds
0 0
當 r<R 時， B(r) = μ0 aω(R-r)
當 r>R 時， B(r) = 0
3.利用∮A．ds = ∫B．da，取繞圓柱中心軸的圓路徑
r
當 r<R 時， A(r)．2πr = ∫μ0 aω(R-r')．2πr'dr'
0
A(in) = μ0 aω ( R/2 - r/3 ) r 方向在φ的方向
R
當 r>R 時， A(r)．2πr = ∫μ0 aω(R-r')．2πr'dr'
0
A(out) = μ0 aωR^3/(6r) 方向在φ的方向
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◆ From: 218.162.100.53
→ xgcj:check一下gauge嗯~沒錯 07/16 18:42
推 xwan227770:這也是個辦法 不過如果是導體的話 電荷都會在表面 07/16 21:04
→ xwan227770:說不定更好算 07/16 21:05
推 xwan227770:(如果R很小的話啦~) 07/16 21:09
→ variation:不好意思，中心磁場部分打錯，不過計算結果應正確，改為 07/16 21:45
→ variation:∫∫μ0 ( aω．dz．ds )．s^2 /[ 2(z^2+s^2)^(3/2) ] 07/16 21:46
推 xgcj:求磁場時一邊矩形取在外面會比較好~這樣就避免掉很多麻煩~ 07/16 21:49
→ xgcj:這樣可以避開掉中間磁場~並利用到外面磁場為0 07/16 21:53
推 xwan227770:可是他是要求出柱內離軸r的磁場吧 07/16 22:03
→ xgcj:直接j=aω,I=jA=μ0aω(R-S)L=BL+0+0+0就出來了~ 07/16 22:09
→ variation:是可以像xgcj大所述，取矩形路徑一邊在外， 07/16 22:11
→ variation:仔細想想外面磁場就像螺線管一樣外邊是0 07/16 22:12
推 xwan227770:恩 這樣看來就不用求中心磁場了,就會比直接積還快了 07/16 22:19