作者xgcj (xgcj)
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標題Re: [問題] 電磁學中的梯度 散度 旋度[補充]
時間Sun Jul 18 21:51:16 2010
※ 引述《john11894324 (不要叫我大蘋果)》之銘言：
: 電磁中有個地方搞不太懂
: 為何一個純量場取旋度為零
: 為何一個向量場取旋度在取散度為零
: 有人可以用數學或是幾何意義跟我解釋一下嗎?
: 拜託了!
上次沒講到幾何的意義這次就來補充一下~
我們知道電磁學教過的高斯定理和史托克定理
這兩個定理分別為
→ → →
1.高斯定理 ∫∫∫(▽˙A )dv=∮A ˙da
v s
→ → → →
2.史托克定理∫∫(▽╳A )da =∮A ˙dl
a c
(1) ▽╳(▽φ)=0
首先我們利用史托克定理將▽φ整個映在a的邊界c上面
∫∫(▽╳(▽φ) )da =∮▽φ ˙dl=∮dφ=φ(P1)-φ(P1)=0
a c c
╱￣￣↖
╱ ╲
↓ A ｜ C
｜ ↑
╲ ╱P1
↖ ╱P2 P1=P2
￣￣
→
(2) ▽˙(▽╳A )=0
→ → → →
▽˙(▽╳A )=▽˙B (這裡令▽╳A =B )
→
∫∫∫(▽˙(▽╳A ))dV (首先任意取一塊體積)
V
→ → →
= ∫∫∫(▽˙B )dV=∮(B ˙da ) (將積分用高斯定理丟到曲面上)
V S
→ → → →
=∫∫B˙da +∫∫B˙da (曲線C將封閉曲面S一分為二)
S1 S2
→ → → →
=∫∫(▽╳A )˙da +∫∫(▽╳A )˙da (換成A再利用史托克定理)
S1 S2
→ → → →
=∮A ˙dl +∮A ˙dl (將最終的積分換到C上面)
C1 C2
→ → → →
=∮A ˙dl -∮A ˙dl=0(發現C1=-C2)
C1 C1
╭─────────────╮
│ ╴╴╴╴╴╴
C2 ｜
│
↗ ╱ ╲
↘ │S
│ ╱
↙ ↖╲ │
│╱ ╲ │
│╲
C1 ╲│
│ ╲ ／│
│ ╲
↘ ↗ ／ │
│
↖ ╲ ／
↙ │
│ ╲ ╱ │
│ ￣￣￣￣ │
│ V │
│ │
│ │
╰─────────────╯
仔細觀察以上兩個結果我們可以發現高斯定理和史托克定理的精隨
這兩個定理基本上就是將某個區域內的積分值換到這個區域的
邊界上
而第一項結果我們任意取一個面積在裡面的積分值會先換到這個面積的邊界上
但是這個邊界是一個封閉的曲線所以積分上下限會一樣~因此等於0
第二個結果我們先將體積的積分換到他的邊界~也就是我們所謂的封閉曲面上~
然後我在將這個封閉曲面切成兩塊~再將曲面上的面積分~換到曲面上的邊界
也就是那一條將封閉曲面切開的封閉曲線~
在最後很巧合的是積分出來的兩個結果居然互為相反數
但其實這一電並不意外
因為我們所謂的封閉曲面事實上是沒有邊界的~我們將他切開後自以為有邊界
但將這兩個邊界加起來~他們的效果是互相抵消的
這和第一個的結果互相呼應~
第一的的結果到最後其實會將值轉換到這條封閉曲線的邊界上
但因為封閉曲面沒有邊界~所以值為0
-----------------------------------------------------------------------------
這裡最主要要帶給我們的觀念其實並不是那些雜七雜八微積分運算~
我認為從某個區域的積分可以藉由邊界上的積分表現出來
而這些曲面邊界之間的拓撲關係才是重點
-----------------------------------------------------------------------------
從更高的層次來看這些東西是微分幾何的必然結果~
我們的積分可以視為外微分在某個FORM中運算兩次的恆等式
2
∫d ω=∫ dω=∫ ω=0
c ∂c ∂^2
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◆ From: 140.113.136.237
※ 編輯: xgcj 來自: 140.113.136.237 (07/18 21:58)
→ xgcj:現在要打中文還得出門去~超麻煩~ 07/18 22:06
→ Vulpix:其實是史托克"斯"定理 07/18 23:20
→ Entropy1988:斯 可有可無吧XD 07/18 23:33
推 eldar:哇 解釋的真好 推! 07/18 23:42
推 Ertkkpoo:Stokes's theorem 07/18 23:45
推 sputtering:推 這些曲面邊界之間的拓撲關係才是重點 07/20 10:49
→ sputtering:x大還真不是我所認知的普通利害 07/20 10:50
推 boyzone66:原來微分幾何和這個有關係!!!學微幾要學拓撲嗎? 07/20 12:04
推 sputtering:topology沒什麼 就是講一些複雜的連結映射到一個簡單的 07/20 13:28
→ sputtering:連結 基本上是討論這些關係 07/20 13:29
推 kkkmaxtine:補充樓上,其實正確英文語法為"Stokes' Theorem",因為人 07/22 00:28
→ kkkmaxtine:名中已有s所以所有格是直接打撇的~很多本原文書作者都 07/22 00:30
→ kkkmaxtine:錯嘍~~(無聊補充一下...囧囧) 07/22 00:30
推 nightkid:s's 也是可以的吧 07/22 09:06