作者xgcj (xgcj)
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標題Re: [書籍] 熱力學&統計力學(物理系大學部程度)
時間Sat Aug 7 23:57:46 2010
※ 引述《dhtsai (tsai dzeng-han)》之銘言：
: ※ 引述《zizoids (阿G)》之銘言：
: : → dhtsai:Carter只有一個地方交代不清:黑體輻射係數:Pi^4/90 07/31 23:14
: : → dhtsai:是怎麼推出來的 07/31 23:15
: : 我沒有那本書...不過我猜你是說這個...
: : http://img508.imageshack.us/i/62402882.jpg/
: 對
: 就是你寫的最後一步 Zeta(4)=pi^4/90 怎麼導出來的
: 是導出來的還是 查表查出來的?
: 因為翻過的資料還沒有找到是怎麼導出來的 (查表查出來的就不必了)
: 可以的話請高手指示方向
[sin(πx)/πx]*[sin(iπx)/(iπx)]
=[1-[(πx)^2]/6+[(πx)^4]/120-...]*[1+[(πx)^2]/6+[(πx)^4]/120+...]
=1-(1/36-1/120/1/120)[(πx)^4]+...
=1-(π^4/90)x^4+...
=[1-x/1][1+x/1][1-x/2][1+x/2][1-x/3][1+x/3]...(根與係數)
*[1-ix/1][1+ix/1][1-ix/2][1+ix/2][1-ix/3]
=[1-(x/1)^2][1-(x/2)^2][1-(x/3)^2]...
*[1+(x/1)^2][1+(x/2)^2][1+(x/3)^2]...
=[1-(x/1)^4][1-(x/2)^4][1-(x/3)^4]...
=1-[1/1^4+1/2^4+1/3^4+1/4^4+1/5^4+1/6^4+...]x^4+...
比較細數後可得1/1^4+1/2^4+1/3^4+1/4^4+...=π^4/90
來推廣一下
ζ(2n)=1/1^(2n)+1/2^(2n)+1/3^(2n)+1/4^2n+...
其實他應該會等於
1/(2n!)*d/dx{[sin(ωπx)/(ωπx)][sin(ω^2πx)/(ω^2πx)][sin(ω^3πx)/ω^3πx]
....[sin(ω^nπx)/(ω^nπx)]}|x=1 [ω^2n=1]
也就是ζ(2n)=-1/(2n!)*d/dx{[sin(ωπx)/(ωπx)][sin(ω^2πx)/(ω^2πx)
][sin(ω^3πx)/ω^3πx]....[sin(ω^nπx)/(ω^nπx)]}|x=1
一起來看看
sin(ωπx)/ωπx=[1-(ωx)/1][1+(ωπ)/1][1-(ωx)/2][1+(ωx)/2]...
=[1-(ωx/1)^2][1-(ωx/2)^2][1-(ωx/3)^2]...
sin(ω^1πx)/(1ω^1πx)
=[1-(ω^2)(x/1)^2][1-(ω^2)(x/2)^2][1-(ω^2)(x/3)^2]...
sin(ω^2πx)/(ω^2πx)
=[1-(ω^4)(x/1)^2][1-(ω^4)(x/2)^4][1-(ω^4)(x/3)^4]...
sin(ω^3πx)/(ω^3πx)
=[1-(ω^6)(x/1)^2][1-(ω^6)(x/2)^2][1-(ω^6)(x/3)^2]...
.
.
.
sin(ω^nπx)/(ω^nπx)
=[1-(ω^2n)(x/1)^2][1-(ω^2n)(x/2)^2][1-(ω^2n)(x/3)^2]...
全部乘起來
左式 =[1-(x/1)^2n][1-(x/2)^2n][1-(x/2)^3n]...
=1-[1/(1^2n)+1/(2^2n)+1/(3^2n)+1/(4^2n)+...]x^2n+...
第二項係數就是ζ(2n)了...
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◆ From: 220.131.45.75
→ ws1992:我的最愛的某資料夾也要一起複製貼上才行07/29 21:06
推 Asbarla:我的文件還我的做愛07/29 21:53
→ Asbarla: 最07/29 21:53
推 softseaweed:我的做愛裡面是放什麼東西咧?07/29 22:03
推 profyang:二樓...07/30 01:26
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→ xgcj:下次我要用複製了... 08/08 00:00
→ xgcj:剛好12點整XD 08/08 00:05
→ Entropy1988:很認真，我還沒有認真看完所以還沒推XD 08/08 17:43
→ Griffiths1:我最佩服在bbs寫一堆數學式的 屌到爆 08/08 21:38
推 smisfun:為強大數學給個推 08/10 03:59