→ doa3ps2:事實上這個問題和陀螺很像 大家不用想得太複雜 09/24 23:49
→ doa3ps2:軌道角動量守恆 重力的力矩使自旋角動量轉向 09/25 00:05
→ doa3ps2:最容易卡住的地方是自旋角動量的方向 09/25 00:06
→ Muscovy:嘖, 好像都白講了... 事實上腳踏車不可能簡化成一個陀螺. 09/25 01:35
→ doa3ps2:把問題簡化成在桌面上純滾動繞圓圈的硬幣 09/25 08:03
※ 引述《yuder (阿華)》之銘言：
: 算是高二上牛頓運動定律那裡的問題
: 在一個水平粗糙的路面上騎自行車轉彎
其實這個問題比題目所呈現的要更複雜, 不過沒關係, 一步一步來.
一輛腳踏車其實可以拆成好幾個零件...
大概就是我前面講過的, 前後輪, 車架跟騎士.
題目本身有個漏洞, 他並沒有明確指出摩擦力不做功.
不過也很好玩.
每個人都會自動地把 free-body diagram 畫成摩擦力不做功的樣子.
就是剖面圖上, 摩擦力都跟運動軌跡垂直. O_o
實際上未必...
不過我也接受這個前提, 不然太給他那個複雜了. :D
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那麼腳踏車運動的時候發生了什麼樣的問題？
我先講一下「為什麼一定要考慮輪子的影響？」
我們直接把龍頭鎖死就好, 重重的輪子還是給他留著.
dL
---- = τ
dt
當騎士在座位上往右傾倒的時候.............
這個時候車子的運動, 絕對不是往右側彎.
而是整個車身加上兩個輪子都往左傾斜, 整個運動軌跡維持直線前進.
這是因為一開始平穩的直線運動找不到力矩（對任何一個參考點都找不到. ）
於是整個車體的運動, 就會試圖去抵銷騎士的角動量變化.
接下來時時刻刻都一直發生同樣的事情（對任何一個參考點都成立. ）
反過來也一樣...
當車子不穩定的時候, 騎士會自然而然用類似的方法抵銷車子的傾側.
有沒有可能抵銷不了？如果在太空中的話, 無論如何一定有辦法抵銷.
地表的話就沒辦法, 純粹因為抵銷的結果可能是頭下腳上, 把脖子扭斷.
車子加輪子太輕或太重的話, 動不動就只能靠「頭下腳上」這一招了.
當然這是理想狀況, 不過大概可以說明為什麼龍頭鎖死之後幾乎不可能轉彎.
哦, 我是說平地上... 路面不平的話就有機會了.
如果考慮重重的輪子在龍頭鎖死下的行為呢？
也很簡單, 當騎士往右側倒的時候, 車身往左側倒.
輪子跟著車身往左翻, 它的角動量變化會是一個垂直地表, 右旋向下的向量.
這個變化量有沒有辦法平衡它？要看輪胎跟地表的摩擦力...
前後輪的摩擦力會產生一個力矩, 力矩不足的話要準備摔倒了.
而且摔的方法是固定的, 就是整台車產生一個右旋向上的角動量變化.
也就是為什麼在冰上摔車的時候, 通常會伴隨著一個整輛車的轉動.
當然這個「角動量變化」是一個可以預測的量.
只是怎麼分配到各個部位, 很難說, 大部分都是看實體的 constraints.
整個轉動狀態都跟輪子的關係很大, 它不是可以忽視的東西.
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可是龍頭鎖死不會是正常的運動, 因為常常是頭下腳上或者摔倒選一個...
所以我們就把龍頭解開, 看看會發生什麼事, 直接考慮正常的轉彎.
當一個人在騎車的時候, 龍頭往左打, 車子會怎麼樣？
答案不是向左彎... 也不是向左傾, 答案是向右傾倒.
理由還是跟前面那一段相同, 一開始的平衡狀態下是找不到力矩的.
所以龍頭向左打的時候, 前輪會出現一個右旋向後的角動量變化.
車子在沒有外力矩的情況下, 要產生一個右旋向前的角動量變化去補償.
右旋向前的變化就是整台車往右倒...
這種變化並不是 conservative.
就是說, 龍頭先向左打, 然後回正, 結果並不會回復到原本的狀態.
實際上一個完整的右彎...
是一個很快的龍頭向左, 然後回正的過程.
移動速度越快越明顯, 因為越高速的情況下, 前輪攜帶的角動量越大.
在同一個龍頭往左的過程中, 它產生右旋向後的角動量變化會更大.
所以對應到的車體右傾會更明顯.
這是一個很有名的技巧叫做 "counter-steering."
當車身右傾, 然後龍頭又停止轉動的情況下...
重力跟正向力才算真正發揮作用.
當然這一對活寶力其實一直在作用...
可是相對於前面那種瞬間一個輪子左轉, 然後整個車身右傾的運動.
這一對力在那個階段幾乎可以當作沒看到.
可是當龍頭不動了, 重力跟正向力還有摩擦力就成為整個運動的主宰.
但是這三個力對應到什麼東西？
不要忘了輪胎, 前後輪在右轉的過程中會持續產生右旋向前的角動量變化.
◎這個角動量變化, 其實就是對應到重力和正向力所產生的力矩.
至於摩擦力, 就是造成車子在整個平面上的大轉彎.
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我打◎的那一行, 就是原本發問者的問題.
忽略了輪子, 就會看不到這個結果. :D
這比較像是一個實際上分析轉動的方式, 從角動量下手其實沒什麼限制.
不會有「單一剛體」、「固定轉軸」的問題.
參考點也都可以隨便取...
不過看我的敘述應該知道通常是取在轉動中心或質心.
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新詩練習：新鮮。踩破初春裡的狗大便；不經意的滄桑，滿溢著嫩黃的喜悅。
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