[題目] 質量彈簧的位能形式

[boyzone66 (打籃球ㄟ)]

[領域] 古典力學 action

[來源] 教授給的題目

[題目]
考慮一條質量均勻分布的彈簧，其線密度為μ、楊氏係數為Y，
在受力時原來在x處的點會跑到x+η(x,t)處，0≦x≦L。
彈簧的一端掛上一個質量為m的質點，以η(x,t)表示彈簧的位能。

以上只是題目的一部份。
如果上述題目不夠完整，最下面有完整的題目。

[瓶頸]                             (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)

這題要用變分法，而且是2獨立變元的變分法。
先列出L=T-U，再放入∫L dt=∫∫f dx dt
前面的動能我已經列出來了，只要能列出L之後，
變分法我會解，所以後面微分方程我自己來就可以了。

可是我卡在位能。
不管我怎麼列，我都覺得很怪。

我一開始列了一個錯的：

              F/A           A        A               1
楊氏係數 Y = ───  F = Y ─ΔL = Y ─ x = kx  U = ─ kx^2
             ΔL/L          L        L               2
         A
 F = - Y ─η(x,t)
         L

     1     A
 U = ─ Y ─η^2    ------->這是錯的 老師說 我最後變分法算出來的η不對
     2     L                老師說應該是位能錯了


老師也給我提示，但給完後，我還是不知道怎麼積分。>"<
老師要我先列出x->x+dx之間，積分範圍從0到L。
x -> x+Δx
x+η(x,t) -> x+Δx+η(x+Δx,t)

       dη
( 1 + ─── )dx
       dx

我寫到這本來很高興...但是發現好怪...被積函數是要放什麼東西才能積分??



我還有列很多奇怪的位能形式，感覺似乎都不太對...囧rz
譬如
         A               L x                     L   0
F = - Y ─η(x,t)   U = ∫ ∫  F  dx dx   or U = ∫ ∫  F  dη dx
         x               0 x+η                  0  η


我也不知道怎麼用到老師給我的(1+η')dx
我已經無力了...
問同學也沒什麼辦法........囧...



題目全文：
考慮一條質量均勻分布的彈簧，其線密度為μ、楊氏係數為Y，
在受力時原來在x處的點會跑到x+η(x,t)處，0≦x≦L。
將彈簧固定在一根光滑的桿子上，使得彈簧的一端掛上一個質量為m的質點，
並以彈簧的另一端為中心，只彈簧做角速度為ω的旋轉，求平衡狀態下，
彈簧伸長量η(x,t)的函數形式。

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推 ntust661:Lagrange:請買我的分析力學...
推 Keelungman:提示喔?  (η')^2
→ boyzone66:是(dη/dx)^2嗎 為什麼???  那力的形式是什麼QQ
→ boyzone66:剛跟一個網友討論 可能接近∫ η(x,t) (1+dη/dx)dx
→ boyzone66:但我列出來 其實還是不知道我在列什麼= =...help..
推 Keelungman:質點局部受力是正比於 η'' 所以積分出來的位能
推 Keelungman:會變出 (η')^2 這項
→ boyzone66:那老師的提示有意義嗎QQ
→ boyzone66:我先做看看 謝謝你!!!