※ 引述《bychou (無聊人士)》之銘言：
: : 問題不是在這裡，
: : 舉個簡單的例子，自由落體，v=√(2gx)，並沒有t在裡面。
: : 但是即使在x=0,v=0,東西還是會繼續往下掉。
: 錯了噢 v=√(2gx) 含有t在裡面哦，因為dv/dt=g 在任何時間都有值
: 所以就算某一瞬間 v = dx/dt = 0
: dv/dt = g 還是不會等於零 所以這時候 v 會繼續變動 因此在後來的時間內
: dx/dt 又進入不是零的狀態 之後就繼續運動了
: (這時候就是慢慢開始加速)
: 所以我說 大部分的運動方程式 並不會是由互為全函數的v.x組成 如果真的是
: 那確實 v=0 → x=constant → v=0 forever
: 考慮如果 v = -x 這個方程式
: 若在某一時刻只要 x=0 此時 v=0 所以x就永久等於零了
: 所以我的結論是
: 若v.x 確實為彼此的全函數 那確實只要一停 就永遠停
: 因為 v=0 對應到一個特定的x值 然後因為x不變動 v亦不變動 故 v=0 forver
: 但是 大部分的運動方程式中 v.x 並不是互為全函數的 都藏有t在裡面
: 就像一開始所說的
: 我覺得我一開始說的跟你是同一個意思 不知道這樣解釋有沒有比較清楚
Very good point.
這裡可以討論的東西其實滿有趣的。
首先是v=√(2gx)，如果我們的資訊只有這一條，而只知道g是一個constant，
為何我們還是可以知道g最後會是加速度呢？
答案是因為我們還有一個隱藏的資訊，也就是v=dx/dt。
所以我們可以把v=√(2gx)對時間微分，
得到dv/dt=√(g/2x)(dx/dt)
=[g/√(2gx)]*v
=(g/v)*v
=g.
所以就算我們事先不知道g是加速度，還是可以推導出來。
但如果我們只知道某個物理量
F=√(2gx), g=constant,
我們就無法知道當x=0的時候F到底會怎麼演化。
也就是說，所謂的有時間藏在裡面，
關鍵在於，就算能把v和x寫成v(x)，
它真正的物理和數學意義其實是一個x對t的一次微分方程，
也就是dx/dt=v(x)。
所以給出一個t=t_0時v=0的初始條件，
x會依循這個微分方程演化下去，
一般而言都不會停在v=0不動。
至於你給的v=-x可以說是一個特例
(這裡有單位不match的問題，先不管它；或是用natural unit.)
它的解是
x=Ae^(-t)，
當時間趨近無限大的時候v和x都趨近於零。
但是如果換成v=x，
它的解則是x=Ae^t,
雖然在x=0時v=0，此時t為負無限大，
但是x和v都還是會隨著時間演化越來越大。
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