作者pipidog (如果狗狗飛上天)
看板Physics
標題Re: [閒聊] 最小作用量原理的由來
時間Mon Nov 1 15:05:21 2010
最小作用量最精確的解釋是"不要解釋",它是一個postulate.
這個postulate的意義只有在量子的情況下才可以得到"比較滿意"的答案
(也只是比較,並不是真的滿意!).
但畢竟古典力學本身也是一套嚴謹的理論,在古典的層次上,也不是完全
沒有意義. 沒道理一個完全建構在古典力學架構上的理論,非得扯到量子
不可,這是不合理的.我們講F=ma不靠量子,為何講action就要? 所以我
勉強講講看自己對action的看法.
簡單的說,"action是動量所相應的純量場"!
1.action是一個平面族,這個平面族的法線所相應的就是粒子的動量.
2.所以位能V相應於力F=-grad(V),等於action S相應於P=grad(S)
換言之,純量場V是generate向量F所相應的一個場
純量場S是generate向量P所相應的一個場
3.這兩個場的時間演化有不同的性質,對於一個封閉系統,V不顯含t,但是對
於一個封閉系統,S的時間演化滿足dS/dt=-E (是偏微,我打不出),換言之,
即便是封閉系統,S場的仍是顯含時的,而其變化率正是時間平移群的生成
元.因此時間平移對稱的系統,當妳在平移時間的時候,對應到的就是S場的
線性變化(後見之明,我們之到這就是量子裡面的exp(-iEt),對應到相位的
變化)
*所以在古典物理上,S這個場之所以隱晦難解,正是因為這個在量子(或者光
學)裡面被放到exp上面的項,在古典被放了下來,變成獨立存在的量了.而S
對應於P正如同P在QM上也對應於一個相位變換.但這是後見之明了
4.最小作用量闡明系統會挑選S為極值的路徑.另一方面,我們知道這系統的
運動方程是H-J方程,這兩者可以互推.換言之,我們把邏輯反過來思考,已
知系統的運動方程是H-J eq,試問這個方程是可否有積分的表達形式?
答案是肯定的,"數學上證明,我們總是可以找出一個泛函量S,對這個S作泛
函的微分,就是H-J eq".這就是最小作用量原理!而進一步的計算表明,這個
泛函S的可以寫成L的積分.
(當然,因為泛函的微分因為可以解釋成極值路徑,大家就開始思考背後有
什麼神秘的意義了.其實這跟一般的函數沒兩樣,你把一個函數寫成積分.
要求回原來的函數,不就是微分嗎? 只是到了泛函裡面,這個微分成了變分,
多了一困擾大家的物理意義了,使得整個定理變得很神秘,但其實他再簡
單不過,就只是你把一個方程式寫成積分跟微分兩種表述罷了.)
5.S場相應到的是動量,換言之S=int(L)dt表明,L相應於某個極短時間內的S
場的貢獻.當我們把時間取得夠短,L的意義就明白了,他是某個極短的時間
內的動量所相應的生成場.更進一步的說,L就是S的全微分時變率.
所以S也可以把E跟L關聯,S的偏微是E,S的全微是L. 所以E是S的顯含時項,
L是S的時變率.
所以當你在相空間裡跟著質點走,你看到的S場時變率就是L,
如果你在相空間裡面待在一點不動,你看見的S場時變率就是E
基於此,整部古典力學可以一切重來,從S開始教起,我們的觀念就全變了!
S變成基本量,所有的力學觀念都從這個叫作S的場衍生出來.
綜上是我對最小作用量的理解. 或有不精確之處,但大意如此.
*總結:
如果系統的運動方程是微分來描述,大家通常覺得很自然,但是變成積分就感
覺很不舒服.我想大多數人覺得最小最用量原理感覺很抽象是這個原因.簡單
的說,是語言問題.
其實整套由L發展出來的力學,大家都同意他跟H或是保守場的牛頓力學是等
價的,但是大家不會去問H(or 能量)是什麼,卻會一直很執著於L的意義是什麼,
大家不會去問為什麼系統的運動方程滿足H-J方程,Hamiltonian方程,或是牛
頓方程,卻會去問為什麼要滿足最小作用量原理.事實上,最小作用量原理只是
去找出一個泛函,這個泛函的微分(變分)就是那個微分方程.簡言之,他們是
一組微分方程的生成函數(泛函).
我自己的看法是,因為大家(甚至多數的物理學家,甚至人類的天性?)天生就對
微分感覺比較舒服,對於積分感覺特別不舒服.而其實整套L力學的根源無他,就
是把原本用微分寫的力學改成用積分表述罷了.才會令人如此困惑.
所以每次當人家問我,L是什麼的時候,我都會反問他那能量H是什麼? 每當有人
問我least action是什麼的時候,我都會反問那Hamiltonian是什麼,F=ma是什麼
? 他們都是一樣的東西,只是一邊用微分說,一邊用積分說,但說的故事是一樣的.
我們不了解L的意義,難到我們就比較了解H的意義?
我們不了解least action的意義,難到我們就比較了解F=mx''的意義?
但是對於微分表述,大家都可以很自然的說"這是postulate! 很可怕不要問!"
但是對於積分表述,好像就非得搞清楚一個道理才能下嚥. 例如非得把S跟p這個
基於微分表述所產生的概念給關聯了,才能勉勉強強的接受他.
所以有沒有可能對微分的偏好不只是物理學的傳統,而是大腦的某種天性?
(其實我在這扯了一堆,我也還是對L感覺很不舒服,唯一能夠對積分形式感覺舒服
的大概只有Feynman了. 一個粒子可以走遍時空中所有可能的路徑從一個點到另
一個點,這麼荒謬的圖像他居然想的到,但天才就是這樣,雖然荒謬,大家卻也想
不到更好的圖像了,至少比起沒道理的,微分的"postulate",這個基於積分的圖像
美多了.是物理學上少數積分比微分更讓人喜歡的異數,物理發展的過程中,幾乎沒
有一個運動方程可以是積分卻比微分更具有物理圖像的.至於更深的意義,就交給
rpfeynman回答了.)
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◆ From: 128.120.178.195
推 yyc2008:推 可以解釋一下為什麼是"最小" 這個也困擾我很久 11/01 15:36
※ 編輯: pipidog 來自: 128.120.178.195 (11/01 15:50)
→ pipidog:其實不能稱謂"最小",因為變分只是在找"極值",我覺得這是名 11/01 15:52
→ pipidog:字沒取好造成的,不要受這二字所困. 11/01 15:52
推 YSimpson:寫這麼多，只好推一下了 XD 11/01 15:53
推 slime036:我想是因為微分方程比積分方程好解很多 11/01 16:02
推 JAPTX4869:為什麼L力學是積分? EOM不都是微分方程嗎? 11/01 16:06
推 YSimpson:要了解 H-J ，建議先搞懂 Lagrangian mechanics 11/01 16:16
→ YSimpson:以及 Hamiltonian mechanics 這兩大變分法的來來融去脈 11/01 16:17
→ YSimpson:Marion 的古典力學第七章裡己有相當好的解釋 11/01 16:17
→ YSimpson:Marion 對 H-J 只有稍微提到一點 (第七章後面) 11/01 16:17
→ YSimpson:Goldstein 這一本古典力學有對 H-J 深入的解釋 11/01 16:17
推 youmehim:P=grad(S)其中的全微分 是對末位置微嗎? 11/01 17:03
推 youmehim:自問自答= = 反正就是grad(S) 利用Lagrange Eq 就可推得P 11/01 17:24
推 youmehim:考慮x(t)=x_classical(t)+delta_x(t) 是對末位置微分沒錯 11/01 18:16
推 xgcj:rpfeynman表示: 11/01 19:59
推 jerry78424:高手....我再多看幾遍 11/02 00:15
推 chendaolong:推 11/07 23:34