作者mgtsai ()
看板Physics
標題Re: [閒聊] 複數空間
時間Sun Nov 14 01:52:35 2010
複數空間，雖然可以看成是由兩個實數維度所組合而成
但是因為複數本身帶有代數結構，其加法與乘法可以形成體結構
(單純的二維實數線性空間並不具有這樣的代數結構)
這樣的代數結構，讓複數可以廣泛應用於各個層面
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舉一個廣泛應用於電機領域的例子：phasor
(這與波動方程有關的物理量中，時常在推導過程中看到 i，在本質上有類似之處)
在電機領域中，大家最關心的幾個物理量，不外乎就是電壓，電流，電阻(阻抗)
但一旦要處理時變問題時，虛數就時常出現在公式之中
比如，以複數表示(交流)電壓值，以複數表示(交流)電流值，以複數表示阻抗值....
初看之下，似乎覺得很奇怪
電壓與電流是很明確的物理量，電壓是多少多少伏特，電流是多少多少安培
那帶虛數 i 的電壓與電流，代表什麼含義呢？
當然，如果我們仔細看整個理論結構，會發現
這個 i 的存在，對應到實際用電表或示波器所量到的電壓與電流
虛數 i 某種程度則代表時變的電壓與電流於波動時的相位差
換句話說，在給定一個固定頻率下
電壓與電流的實數值與虛數值，則是代表其時變的振幅與相位的 phasor 換算
既然虛數並不是真實的量測值，而只是一種換算值
那我們為何還要這麼大費周章，特別引入複數，只是用來間接表達電壓與電流值？
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使用複數，其實沒有其它用意，更沒有因為引入虛數而帶來新的物理量
就純粹是借重它那非常好用的代數特性，簡化所處理的問題
其實，在整個計算過程中，完全把虛數拿掉，也是不會有任何問題
只是，不使用虛數，整個計算式
就會出現一大堆 A cos + B sin 這類式子
而 電壓 = 電流 * 阻抗 這類簡單純代數的算式，則會換成複雜的微分方程
換句話說，不想使用虛數也行，代價就是要耗費較繁複的計算過程來處理問題
複數的代數特性，大大簡化了這類原本帶有 sin cos 的計算過程
所以複數在電機領域的應用相當普遍，電子電路，訊號處理
電波相關領域(傳輸線，波導管，天線，微波電路所常用的 Smith chart)，...
都是使用複數來處理問題
可以這麼說，電機領域從大二進入專業課程開始，就在使用複數處理問題
電機系裡的三電：電子學，電路學，電磁學，全都在玩複數
某種程度而言，波動方程也有類似的特性
所以相關的問題，出現虛數 i，其實也不太令人意外
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◆ From: 114.32.58.129
推 sunev:我贊成這篇的想法 11/14 02:38
推 waddler:電學可以全用實數改寫出等價的方程式 量力不行 11/14 02:42
→ waddler:所以量力的虛數並非只是為了計算方便 是有物理意義的 11/14 02:43
推 sunev:水汀格方程式是線性的，所以實部虛部可以拆開來寫.... 11/14 02:46
推 xgcj:因為李代數有複化 實化的問題 所以一定會有i 11/14 02:48
→ xgcj:我們當然可以將所有有i的地方 全部都用矩陣來代替 但是這樣 11/14 02:49
→ xgcj:會太冗長了 又沒必要 為什麼有些東西要用到矩陣 是因為矩陣帶 11/14 02:49
→ xgcj:的資訊可以比較多 就像 SO(2,R)和U(1)是等價的 但是你將SO(2) 11/14 02:51
→ xgcj:仔細來看 你會發現他重複得資訊太多了 所以有時你會覺得U(1) 11/14 02:52
→ xgcj:較好用 11/14 02:52
→ xgcj:SO(2,R)你裡面只有一參數 U(1)也是一個參數 拓撲結構都一樣 11/14 02:54
→ xgcj:但是SO(2)占的版面比較大 所以我們有時候會比較不喜歡用他 11/14 02:55
→ xgcj:但是 在某些方面來講 大家又比較喜歡SO(2) 因為它可以將R2裡 11/14 02:56
→ xgcj:向量的內積 好好的定義起來 而且又比較直觀 相對的如果你用 11/14 02:57
→ xgcj:U(1)其實也是可以做完全一樣的事情 但是裡面會牽扯到一堆i 11/14 02:58
→ xgcj:所以對些情形來說 並不是大家都喜歡用的 11/14 02:59
→ xgcj:i可以簡化運算 矩陣有時比較直觀 11/14 03:01
→ xgcj:至於量子力學用i 我相信是這樣子比較簡潔 11/14 03:02
推 newmind:分析真好 11/14 03:07