作者xgcj (xgcj)
看板Physics
標題Re: [閒聊] 複數空間
時間Sun Nov 14 06:06:00 2010
我想只要做適當的修改
還是可以讓量子力學裡不要出現i
不過這樣子只會製造更多的困擾
例如:薛丁格方程式
∂
i h_bar ---- Ψ = H Ψ
∂t
這裡面我們只要把所有的complex number 全部改成矩陣 然後再將這些矩陣和
複數體裡面對應的東西連接上再做點小修改就好了
----------------------------------------------------------------------------
以下是對應
z=a+b i <==> Z=[ a b]
[-b a]
z1=a1+b1 i
z2=a2+b2 i [ a1 b1] [ a2 b2]
<==> Z1=[ ] Z2=[ ]
z1+z2=(a1+b2)+(b1+b2)i [-b1 a1] [-b2 a2]
_ [ a b] T [a -b]
z=a+bi z=a-bi <==> Z=[ ] Z =[ ]
[-b a] [b a]
z1=a1+b1 i
z2=a2+b2 i
[ a1 b1][ a2 b2]
z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i <==>Z1*Z2=[ ][ ]
[-b1 a1][-b2 a2]
[ (a1a2-b1b2) (a1b2+b1a2)]
=[ ]
[-(a1b2+b1a2) (a1a2-b1b2)]
- T [a^2+b^2 0 ]
z*z=a^2+b^2 <==>Z*Z =[ ]
[ 0 a^2+b^2]
z=a+bi=Rexp(iθ) [ a b] [ 0 1]
R=√(a^2+b^2)θ=arctan(b/a)+π <==> Z=[ ]=R*exp([ ]*θ)
{0=<θ<2π,0=<R} [-b a] [-1 0]
很明顯地 複數體做得到的事 我用實矩陣也可以做得到
------------------------------------------------------------------------------
於是我們可以修改我們的薛丁格方程式
[ 0 1][Ψ1 Ψ2] [Ψ1 Ψ2]
h_bar[ ][ ]=H [ ]
[-1 0][-Ψ2 Ψ1] [-Ψ2 Ψ1]
+ [Ψ1 Ψ2] T [Ψ1 -Ψ2]
我們的Ψ 和Ψ 現在就改成 Ψ=[ ] Ψ =[ ]
[-Ψ2 Ψ1] [Ψ2 Ψ1]
於是你完全可以用實矩陣來代替
-----------------------------------------------------------------------------
現在就來修改量子力學裡的幾個公設(from wiki)
以下是Dirac所做的公設
1. 一個物理系統於時間點 t 的狀態可以由希爾伯特空間中的一個歸一
化向量 |Ψ(t)>來定義。這裡的希爾伯特空間指的是定義了內積的平方可積的
線性向量空間。
^
2. 每個可觀測量 A 可以通過狀態空間中的一個厄米算符 A 來表示，可觀測量
A 在狀態 |Ψ(t)>的期望值（即測量結果的平均值
^
）為 <Ψ(t)| A |Ψ(t)>。進一步的，對應於可觀測量的厄米算
符的所有本徵態構成希爾伯特空間中的正交歸一的完備函數系。任意一個態向量
都可以由該算符的本徵態展開。如果系統處於算符的本徵態上，對應的可觀測量
具有唯一確定的測量值，即該本徵態對應的本徵值。對於任意的態，觀測量的測
量值是各本徵值的帶權平均。量子力學中的測量是不可逆的，測量後系統處於該
測量值的一個特徵向量上。
3. 位置算符和動量算符之間滿足正則對易關係。由此對易關係可以確定動量算符的表
達式，而所有的其他算符都可以由位置算符和動量算符表出。由算符的對易式可
^ ^
導出不確定性原理：兩個可觀察量 A 和 B 之間的不確定性為
^ ^
|< [ A , B ] >|
ΔAΔB>=|-------------|
| 2i |
4. 狀態向量 |Ψ(t)>的動力學演化由薛丁格方程式表示：
∂ ^
i h_bar ----|Ψ(x,t)>=H(x,t)|Ψ(x,t)>
∂t
^
，在這裡哈密頓算符=H(x,t)通常對應於系統的總能量。
------------------------------------------------------------------------------
1. 一個物理系統於時間點 t 的狀態可以由希爾伯特空間中的一個歸一
|[ Ψ1(t) Ψ2(t)]
化矩陣向量 |Ψ(t)>=|[ ]>來定義。
|[-Ψ2(t) Ψ1(t)]
這裡的希爾伯特空間指的是定義了內積的平方可積的
線性向量空間。
[ Ψ1(t) Ψ2(t)]|[ Ψ1(t) -Ψ2(t)]
(這裡的內積應該要被想像成<Ψ(t)|Ψ(t)>=<[ ]|[ ]>
[-Ψ2(t) Ψ1(t)]|[ Ψ2(t) Ψ1(t)]
^
2. 每個可觀測量 A 可以通過狀態空間中的一個厄米算符 A 來表示，可觀測量
A 在狀態 |Ψ(t)>的期望值（即測量結果的平均值
^
）為 <Ψ(t)| A |Ψ(t)>。進一步的，對應於可觀測量的厄米算
符的所有本徵態構成希爾伯特空間中的正交歸一的完備函數系。任意一個態向量
都可以由該算符的本徵態展開。如果系統處於算符的本徵態上，對應的可觀測量
具有唯一確定的測量值，即該本徵態對應的本徵值。對於任意的態，觀測量的測
量值是各本徵值的帶權平均。量子力學中的測量是不可逆的，測量後系統處於該
測量值的一個特徵向量上。
3. 位置算符和動量算符之間滿足正則對易關係。由此對易關係可以確定動量算符的表
達式，而所有的其他算符都可以由位置算符和動量算符表出。由算符的對易式可
^ ^
導出不確定性原理：兩個可觀察量 A 和 B 之間的不確定性為
^ ^
|< [ A , B ] > [0 -1]|
ΔAΔB>=|------------- [ ]|
| 2 [1 0]|
4. 狀態向量 |Ψ(t)>的動力學演化由薛丁格方程式表示：
[0 1] ∂ ^
h_bar[ ] ----|Ψ(x,t)>=H(x,t)|Ψ(x,t)>
[-1 0] ∂t
^
，在這裡哈密頓算符=H(x,t)通常對應於系統的總能量。
-----------------------------------------------------------------------------
所以我們只要將所有的 C 數體的部分 通通換成 剛剛寫的矩陣就行了
但是現在問題來了
考慮我們考慮Dirac equation一類的方程式
μ
(iγ ∂ - m )Ψ(x,t)=0
μ
這裡面不只有i還有一堆矩陣...
就連我們電子的波函數也有4個分量
連我們的矩陣裡也有i
但沒關係!
我們還是可以修改的
原式=>
μ
(iγ ∂ - m )Ψ(x,t)=0
μ
0 [0 I2] i [ I2 σi]
γ =[ ] γ =[ ] 注意!這裡的σ矩陣裡面也有i!
[I2 0] [-σi I2 ]
[0 0 1 0] [0 0 0 1] [0 0 0 -i] [ 0 0 1 0]
0 [0 0 0 1] 1 [0 0 1 0] 2 [0 0 i 0] 3 [ 0 0 0-1]
γ =[1 0 0 0] γ=[0 -1 0 0] γ =[0-i 0 0] γ=[-1 0 0 0]
[0 1 0 0] [-1 0 0 0] [i 0 0 0] [ 0 1 0 0]
[ 0 1]
所以我們也要將γ矩陣裡的i全部換成[ ]
[-1 0]
0 1
γ = γ =
[[0 0] [0 0] [1 0] [0 0]][[0 0] [0 0] [0 0] [1 0]][[0 0] [0 0] [0 0] [0-1]]
[[0 0] [0 0] [0 1] [0 0]][[0 0] [0 0] [0 0] [0 1]][[0 0] [0 0] [0 0] [1 0]]
[ ][ ][ ]
[[0 0] [0 0] [0 0] [1 0]][[0 0] [0 0] [1 0] [0 0]][[0 0] [0 0] [0 1] [0 0]]
[[0 0] [0 0] [0 0] [0 1]][[0 0] [0 0] [0 1] [0 0]][[0 0] [0 0] [-10] [0 0]]
[ ][ ][ ]
[[1 0] [0 0] [0 0] [0 0]][[0 0] [-10] [0 0] [0 0]][[0 0] [0-1] [0 0] [0 0]]
[[0 1] [0 0] [0 0] [0 0]][[0 0] [0-1] [0 0] [0 0]][[0 0] [1 0] [0 0] [0 0]]
[ ][ ][ ]
[[0 0] [1 0] [0 0] [0 0]][[-10] [0 0] [0 0] [0 0]][[0 1] [0 0] [0 0] [0 0]]
[[0 0] [0 1] [0 0] [0 0]][[0-1] [0 0] [0 0] [0 0]][[-10] [0 0] [0 0] [0 0]]
[[0 0] [0 0] [1 0] [0 0]]
[[0 0] [0 0] [0 1] [0 0]]
[ ]
[[0 0] [0 0] [0 0] [-10]]
[[0 0] [0 0] [0 0] [0-1]] 3
[ ]=γ
[[1 0] [0 0] [0 0] [0 0]]
[[0 1] [0 0] [0 0] [0 0]]
[ ]
[[0 0] [-10] [0 0] [0 0]]
[[0 0] [0-1] [0 0] [0 0]]
打到這裡我就不想在打下去了
可見要完全不用到複數來建構一個的確是可以的
但是我們用複數可以省去相當多不必要的麻煩...
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◆ From: 220.131.45.75
→ ws1992:我的最愛的某資料夾也要一起複製貼上才行07/29 21:06
推 Asbarla:我的文件還我的做愛07/29 21:53
→ Asbarla: 最07/29 21:53
推 softseaweed:我的做愛裡面是放什麼東西咧?07/29 22:03
推 profyang:二樓...07/30 01:26
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.68.211
→ xgcj:啊!打了半天PTT突然關掉導致P必吃光光.... 11/14 06:08
推 yyc2008:大推 以前教授點到為止的地方 xgcj推得很清楚 11/14 06:12
→ xgcj:其實我只是想要賺P幣啊!(淚目+拖走) 11/14 06:13
推 waddler:問題當你建立起這套體系以後 還是必須描述矩陣裡各分量的 11/14 06:38
→ waddler:物理意義 這樣只是把"i的物理意義"問題 丟給另一個矩陣 11/14 06:39
→ waddler:變成我們要問那個取代i的反對角矩陣物理意義是啥 11/14 06:40
→ waddler:我總覺得這只是繞一大圈並沒有釐清問題 11/14 06:40
→ xgcj:的確是如此XD 11/14 06:43
→ xgcj:對了!你之前問了一個問題是有關於夸克電荷的 我建議你可以去 11/14 06:44
→ xgcj:有關李群和李代數的書 11/14 06:45
→ waddler:理論的書阿....XD 嗯嗯 呵呵 先洗澡 11/14 06:56
推 JAPTX4869:w大所說i的物理意義到底是? 11/14 08:04
→ waddler:互補原理 @@a 這是我的理解啦...也許去問問教授比較實際 11/14 08:13
推 Entropy1988:喔~原來如此~~ 11/14 08:43
→ Entropy1988:題外：想賺P幣的話其實有模擬打字的程式可以用 11/14 08:44
推 condensed:失焦了，回到物理上來，不論數學形式為何，新的理論能預 11/14 09:01
→ condensed:測什麼現象？或者能解決或簡化什麼計算上的問題？這才是 11/14 09:04
→ condensed:物理主要關注的地方。 11/14 09:07
→ condensed:如果複數空間不能做出有別傳統理論的預測，所有討論就只 11/14 09:08
→ condensed:留於數學或哲學，但不是物理。 11/14 09:09
→ nightkid:entropy可以提示一下那個程式的名稱嗎? 11/14 09:39
推 HDT:那很難用 因為PTT的P幣計算方式是2秒1字1P幣 所以對打字快的人 11/14 13:24
→ HDT:來說很吃虧 因為2秒內打10個字和1個字都是1P幣 啊這個程式就是 11/14 13:25
→ HDT:你可以先打在筆記本上 然後用這個程式下去跑 自動兩秒PO一個字 11/14 13:26
→ HDT:但是你的頁面得固定住 這段時間你完全沒辦法用電腦做事 所以見 11/14 13:26
→ HDT:仁見智啦 11/14 13:26
推 Frobenius:推！ 11/14 16:46
推 louis925:推~~~ 02/06 14:19