作者mgtsai ()
看板Physics
標題Re: [閒聊] 複數空間
時間Sun Nov 14 11:36:16 2010
※ 引述《xgcj (xgcj)》之銘言：
: 我想只要做適當的修改
: 還是可以讓量子力學裡不要出現i
: 不過這樣子只會製造更多的困擾
: 例如:薛丁格方程式
: ∂
: i h_bar ---- Ψ = H Ψ
: ∂t
:
: 這裡面我們只要把所有的complex number 全部改成矩陣 然後再將這些矩陣和
: 複數體裡面對應的東西連接上再做點小修改就好了
: --
: 推 condensed:失焦了，回到物理上來，不論數學形式為何，新的理論能預 11/14 09:01
: → condensed:測什麼現象？或者能解決或簡化什麼計算上的問題？這才是 11/14 09:04
: → condensed:物理主要關注的地方。 11/14 09:07
: → condensed:如果複數空間不能做出有別傳統理論的預測，所有討論就只 11/14 09:08
: → condensed:留於數學或哲學，但不是物理。 11/14 09:09
xgjc 兄花那麼大的力氣打這麼長一篇，先給你拍拍手
的確複數運算有相對應的2x2矩陣的群表現
提到物理量，我想，有一個觀念算滿重要的，就是 Observability
以量子力學裡的複數而言，雖然帶有兩個維度的實數，但只有一維是 observable
(那個 observable 的不是實部的那個維度，而是複數的 magnitude，
而複數的 phase 則是 non-observable)
引入額外的 non-observable 維度，讓整個問題變得可以架構與處理
其實算是一個滿常用的手法
撇開量子力學不談，我們來看古典電磁學
當從 Maxwell equation 要進入處理波動方程時
會引入一個新的概念：向量位能Ａ
將電位能φ與向量位能Ａ組合起來的四向量 (φ,Ａ)
可以用來建構出比較方便處理的波動方程
但問題是，(φ,Ａ) 總共有四個維度，但，實際上，只有三個維度是 observable
(對應到電場或是磁場的三個維度)
那多出來的第四個維度代表什麼？
當然，不引入第四個維度，電磁學問題還是可以處理的
但，直接計算 Maxwell equation 終究還是比較繁複的
不若引入向量位能的概念後，問題較為簡化
在某種程度而言，我們不會太關心那個 non-observable 維度代表什麼物理量
看都看不到了，為它賦與太多物理上的解釋，有點顯得多餘
但，如果這個 non-observable 維度可以用來簡化所處理的問題
我想，大家不會因為找不到它的物理意義而吝於使用
==========
再來看量子力學裡頭的 i
雖然會多一個 non-observable 維度
但從一個有趣的 Aharonov-Bohm effect 實驗中，卻又可以看到phase項的影響
(以前老師提到這個現像時，說這是真空拓撲結構的一種表現)
再來，先前xgjc兄文中已經說明如何將帶有複數的公式轉化為純實數表達的另一種群表現
當念場論到後來，多學其它的群表現其實也滿重要的
我們現在知道，量子力學裡頭的複數，會對應到規範場裡的 SO(2) (或 U(1))
而電磁場的 SO(2)/U(1) 規範不變性，套入 Noether theorem
會得到一個大家都很熟的守恆量：電荷守恆
當我們開始處理其它的規範場時，首先會遇到不若 SO(2)/U(1) 那麼好用的代數特性
至少 non-abelian 連代數交換率都已被破壞
在這種狀況下，我們就非得使用矩陣型式的群表現
而沒辦法像 SO(2) 一樣可以使用複數替代來偷懶
(其實 xgjc 兄文中的那幾個γ矩陣，可以算是處理 SU(2) 群的一種表達方式)
到這個階段，到底虛數有沒有物理含義，我想，應該不太是重點
我們應該要學著以更多的面向，用以處理更複雜的問題
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◆ From: 114.32.58.129
※ 編輯: mgtsai 來自: 114.32.58.129 (11/14 11:38)
推 waddler:感覺原p是學數學的 XD 學物理的應該不可能不在意物理意義 11/14 11:44
→ waddler:尤其量子力學是現代物理學的基石 如果i是必不可少的東西 11/14 11:45
→ waddler:那是必要給他一個合理的物理意義 讓往後的理論發展有邏輯 11/14 11:46
→ waddler:基礎 說到A-B effect 有趣的不是相位效應 相位效應干涉 11/14 11:48
→ waddler:繞射實驗就看很多了 A-B effect 是因為 vector potential 11/14 11:49
→ waddler:造成相位差才顯得有趣 11/14 11:50
推 condensed:i的物理意義是指?沒有i的物理意義又是指? 11/14 18:54
→ condensed:還是先定義清楚問題究竟是什麼，討論才有意義。 11/14 18:57
→ condensed:如果所謂的i有沒有必要存在，是指直接把薛丁格方程中的i 11/14 18:58
→ condensed:拿掉，大家都知道這是錯的，這點我相信mgtsai大也知道。 11/14 19:03
→ condensed:那如果是要問能否在數學形式上找到不必有i的等價結構， 11/14 19:05
→ condensed:mgtsai大也回答了。最有趣的是，所謂的空間是虛數和不是 11/14 19:06
→ condensed:虛數，能衍生出什麼不同理論預測，而非只是數學上等價， 11/14 19:07
→ condensed:額外維度引入(例如弦論)的區別，不只是為了數學等價而已 11/14 19:09
→ sneak: m 11/09 11:59