作者xgcj (xgcj)
看板Physics
標題Re: [閒聊] 複數空間
時間Sun Nov 14 16:27:59 2010
量子力學裡面最重要的核心概念
莫過於我們的位置和動量之間的對易關係了
^ ^
[ x , Px ]=i h_bar
現在我們有兩個可觀察量 x和他的共軛量 Px
他們兩個之間會有個i
為什麼要有i呢?
(1)為了使兩個算符都是Hermitian operator
(2)不確定性原理
----------------------------------------------------------------------------
(1)
^
首先我們知道<Ψ|x|Ψ>是一個可觀察量 如果我們現在要建立一個和
^
x 對易後差個常數的運算子 那我們要怎麼建立呢??
^ *
這裡我們先假定 x = x 然後|Ψ>=Ψ(x) <Ψ|=Ψ(x)
^ ∞ *
內積<Ψ|O|Ψ>=∫Ψ(x)O(x)Ψ(x)dx
-∞
^ ^
很明顯的 我們如果要找到 一個Px算符跟不對易不可能直接用
x的多項式去組合出來 那我們又很想要一種算符 他可以作用
在我們的Ψ(x)上面 而又和 x 不對易 很明顯地 只能用微分算符
^ d
假設Px=c*----- 我們將他和x對易後 作用在Ψ(x)上面
d x
d d
(x*c*——— -———*c*x)Ψ(x)=-cΨ(x)
d x d x
現在我們知道如果要建立一個對易後不為0的算符我們必須要使用
微分算符 在量子力學裡 我們要求每個可觀察量都必須是Hermitian
那我們就來看看要如何選取我們的常數
d
因為Px=c*—— 而他又必須是要Hermitian 所以令
d x
∞ * d * ｜+∞ ∞ d *
<Ψ|Px|Ψ>=∫Ψ(x)－－Ψ(x)dx*c=c*Ψ(x)*Ψ(x)｜ -∫c－－Ψ(x)*Ψ(x)dx
-∞ d x ｜-∞ -∞ d x
^^^^^^^^^^^^^^^^^
=0
∞ * d * ∞ * d *
=-∫ (c －－Ψ(x)) *Ψ(x)dx=∫ Ψ(x)(-c －－Ψ(x))dx
-∞ d x -∞ d x
* *
上式必須要等於 <Ψ|Px|Ψ>也就是-c 要等於c
一個數字等於本身的負共軛 那她一定是一個純虛數
所以c=i*(某一個實數)
經過這樣的推導 我們知道 如果要找到一個和x不對易 但同時又要滿足
Hermitian性質的算符 我們只能選擇 一個純虛數*微分算符 的這種形式
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(2)
首先 在我們量子力學裡的空間是一個內基空間 所以有科西不等式
*
<Ψ|A|A|Ψ><Ψ|B|B|Ψ> >=<Ψ|A|B|Ψ><Ψ|A|B|Ψ>
寫好看一點 *
<AΨ|AΨ><BΨ|BΨ> >= <AΨ|BΨ><AΨ|BΨ>
=<AΨ|BΨ><BΨ|AΨ>
我們知道兩個互為共軛的複數相乘 一定大於虛部的平方
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2>=b^2
所以<AΨ|BΨ><BΨ|AΨ> >={(1/(2i))(<AΨ|BΨ>-<BΨ|AΨ>)}^2
AB-BA [A,B]
={|<Ψ|————|Ψ>|}^2={<Ψ|———|Ψ>}^2
2 i 2 i
得到了一個關係
[A,B]
<AΨ|AΨ><BΨ|BΨ> >={<Ψ|———|Ψ>}^2
2 i
1
我們可以將他視為<A^2><B^2> >= ——|<[A,B]>|^2
4
統計上所謂的標準差是所有位置和平均位置差的方均根
ΔX=√(<(x-<x>)^2>)
(ΔA)^2(ΔB)^2=(<(A-<A>)^2>)(<(B-<B>)^2>)
>= (1/4)|<[A-<A>,B-<B>]>|^2
=(1/4)|<[A,B]-[A,<B>]-[<A>,B]+[<A>,<B>]>|
<A> <B>是數字所以全部對易掉
=(1/4)|<[A,B]>|^2
^ ^ d
x=x Px=(h_bar/i)--- [x,Px]=i h_bar
d x
(ΔX)^2(ΔPx)^2 >=(1/4)|<[x,Px]>|^2=[(h_bar)^2]/4
最後可以得到ΔXΔPx >= (h_bar)/2
這條不確定性原理的不等式
在上面的推導中 我們發現了 [x,Px]=i h_bar 這條式子中的
i的含意 除了要保證我們兩共軛力學量要Hermitian外
同時也保證我們的不確定性原理
更重要的事 他還間接暗示了我們 量子力學裡的二項性
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從前面的推導中 我們知道如果要有 互為共軛的物理量 我們一定要引進虛數
後面的推導 則是跟我們暗示不確定性原理和共軛量對易子之間的關係
結論:一定會有虛數
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.68.211
※ 編輯: xgcj 來自: 140.113.68.211 (11/14 16:28)
推 waddler:幫推 直接在這打字也太辛苦了吧 XD 11/14 16:48
推 HDT:嗯 所以我寧願用word打好數學式 然後轉成PDF上傳 11/14 16:52
推 condensed:mgtsai兄和xgcj兄的回顧都很精采，兩方說法並不衝突啊。 11/14 18:38
推 hanabiz:天啊 釣出好多高手 11/14 19:05
推 kuromu:高手出現啦 11/14 19:51
推 enunion:第二個理由感覺是循環證法 正因為我們設想x,p不可能測量 11/18 00:17
→ enunion:而不互相干涉 才會使得x,p 不commute 也就是說 我們是 11/18 00:17
→ enunion:先確立不確定性 才設定commutation relation的存在 11/18 00:18
→ enunion:現在你用尾去證頭 當然成立 11/18 00:19
→ enunion:當不確定性不存在時 x,p commute 就完全不能討論i的存在了 11/18 00:20
→ enunion:因此i 的存在是否跟不確定原理有關 我覺得說法要保留 11/18 00:21
→ enunion:但i的存在跟波動性質 有絕對的關係 11/18 00:22
→ enunion:至於波動性跟不確定性有沒有關連 或者等價 還有待高人指點 11/18 00:23
→ xgcj:我應該這麼說 不確定性原理=>不commute要求為一可觀察量=> 11/18 01:23
→ xgcj:要有i出現 當然量子力學裡面 不只這個地方有i 11/18 01:23
→ xgcj:我想它既然是一個自恰的理論 那就不能從其他地方導出 所以我 11/18 01:24
→ xgcj:也只能證明 他的公理和物理之間的一些連接 11/18 01:25
→ sneak: m 08/13 15:54
→ sneak: m 11/09 11:59