nondegenerate eigensates

[JohnMash (John)]

 我們知道一維 harmonic potential 的 Schrodinger Eq.

 其 energy eigenstates 是 nondegenerate.

 請證明之

 (你知道 Greensite 的講義 關於這個問題 很含混的帶過)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.104.129.78
→ Keelungman:用 ladder operator?
推 ripper:shankar 176 there is no degeneracy in 1-D bound state
→ chungweitw:Ψ1 = cΨ2.  要怎麼保證 node 兩側的 c 相同?

  證明有些地方需要想一下

  不知有沒有人想把關鍵處寫出來

※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.96.100       (11/24 13:11)
→ pennyleo:這個問題 賴樹聲量物裡有證明  你去書局翻一下吧
   我自己已經證明了

   想看看其他人的想法

※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.96.100       (11/24 14:08)
→ chungweitw:那你怎麼argue兩側的常數c 要相同?
→ chungweitw:一般是說Ψ,Ψ' 連續, 所以.....
→ chungweitw:但這似乎不顯然
→ nightkid:賴樹聲真的挺有趣的...每次來上課都不吃晚餐 只吃藥= =
推 xwan227770:我可以問一下三樓嗎?
→ xwan227770:這個問題跟node有甚麼關係?
→ xwan227770:node數目應該是跟哪個能態有關係吧
→ xwan227770:二樓說shankar有證明 我也覺得寫得很清楚
→ xwan227770:甚至別說shankar,有好幾本量力都是這樣算
→ xwan227770:我反倒滿好奇原po的問題點在哪
→ chungweitw:沒看過Shankar..但是一般證明就是 Ψ1Ψ2'=Ψ1'Ψ2
→ chungweitw:兩邊同除以Ψ1Ψ2. 所以要避開 node..
→ chungweitw:得到Ψ1'/Ψ1 = Ψ2'/Ψ2. 然後積分得到 Ψ1=cΨ2
→ chungweitw:假設現在有 個 node 在 A 點.
→ chungweitw:那麼在A點左側, Ψ1 = c1Ψ2; 在右側, Ψ1=c2Ψ2.
→ chungweitw:你要如何保證 c1=c2?
→ chungweitw:然後一般就又說 Ψ,Ψ' 連續情況下, c1 = c2.
推 xwan227770:是啊 就是那樣
→ chungweitw:但是我看未必..如果在node附近是 x^3 形式的話,
→ xwan227770:但是那個1和2是假設的同一個能態的兩個解
→ chungweitw:我可以選 c1 != c2
→ xwan227770:所以你換出他們只差個定值的比
→ xwan227770:就得證了,因為歸一化會告訴你那個c可有可無
→ chungweitw:c1 != c2 的話, 就 degenerate 了
→ xwan227770:node在a點?你那個等式不是邊界條件
→ xwan227770:是薛丁格方程假設同個E相加減出來的
→ xwan227770:我知道邊界也是這樣算 但是這邊這個等式意義不一樣
→ chungweitw:Ψ1=cΨ2 這等式 不能跨過 node.
→ chungweitw:因為你一開始除以 Ψ1Ψ2 了. 所以 Ψ1Ψ2 !=0
→ chungweitw:所以在node兩側 要用不同的比例常數
→ chungweitw:然後你要證明兩側的常數會一樣, 這樣才能說它
→ chungweitw:nondegenerate
推 xwan227770:當然不會是零 要是其中一個是零 那就不是energy state
→ chungweitw:不是 處處為零. 是在 node = 0
→ xwan227770:而且就算你要用一個點來看 你要確定這兩個波函數
→ xwan227770:都可以歸一化喔
→ xwan227770:你已經假設1可以歸一化了
→ xwan227770:那2這個態在不同區間這樣選能歸一嗎?
→ chungweitw:我不知道啊. 但是要既然要證明nondegenerate, 不就是
→ chungweitw:要證明 c1 = c2 ? 但是一般都只說因為Ψ,Ψ' 連續
→ chungweitw:可是明顯這樣是不夠的 ( 我舉的 x^3 的例子 )
→ xwan227770:現在問題是你選c1不等於c2
→ chungweitw:yes
→ xwan227770:在節點的動量會發散
→ chungweitw:因為 c1 != c2 is allowed...你要選 c1 = c2 就要有
→ chungweitw:明確的理由. 這才叫證明..
→ xwan227770:這很怪異啊 還有就是 我覺得你最好check一下
→ chungweitw:為何會發散? x^3 的例子. 微分還是零
→ xwan227770:真的 能找到一對c1,c2讓2歸一嗎?
→ xwan227770:x^3=>x無限大的時候能歸一?
→ xwan227770:在無限遠的時候粒子的機率發散?
→ chungweitw:我想..總是可以歸一的...歸一應該不是問題
→ xwan227770:而且你說微分不會發散
→ chungweitw:我是說在 node 點附近剛好有 x^3 的行為.而非整個space
→ xwan227770:但是那點函數就是不連續 怎麼不會發散?
→ xwan227770:好比說在a點好了
→ xwan227770:左邊斜率3C1a^2右邊3C2a^2
→ chungweitw:a 點的 x = 0. ( node )
→ chungweitw:所以兩側斜率都是零
→ xwan227770:總是可以歸一...如果你挖掉那點node的話...當然可以
→ chungweitw:我的node 沒問題啊..
→ xwan227770:可是你要對任何形式的波函數你這樣選都要對耶
→ xwan227770:不能只有behavior如你預想的波函數才可以耶
→ chungweitw:除非現在有條定理說 : Ψ Ψ' 不可能同時為零.
→ chungweitw:如果有這定理. 那我就滿意地接受一般書上的證明
→ chungweitw:不是..你要證明 nondedenerate, 就是要考慮所有情況.
→ chungweitw:就像法官判人有罪, 就要有足夠證據. 否則就是無罪
推 xwan227770:粒子在那個點的出現機率是零 怎麼可能定義出動量呢
→ xwan227770:好 我懂你的意思了 就是你覺得special case也能這樣選
→ xwan227770:為啥special case就還是要那樣選
→ chungweitw:機率 = 0 可以有動量啊. 一般的node 都是這樣
→ chungweitw:但是我舉的是 兩者都是零的情況
→ xwan227770:可是你說附近的行為是x^3 表示你是在那點附近
→ chungweitw:舉special case 就是數學證明的舉反例啊..
→ xwan227770:做泰勒展開近似出x^3
→ xwan227770:那你能保證那些high order加進來會對?
→ chungweitw:因為書本寫的原因是 Ψ Ψ' 連續, 所以 c1=c2.
→ chungweitw:那我現在舉了反例. 不能一句"一定可以這樣選嗎?" 來
→ chungweitw:否定吧. 要說不能這樣選, 應該要提出證明啊
→ xwan227770:因為如果整個函數是x^3顯然不是束縛態的解
→ xwan227770:那麼 你說在x=0附近做展開 會近似x^3
→ chungweitw:是啊. 我就是這個意思..higher order? 肯定還是零啊.
→ chungweitw:x^n 微分, n >3...怎會不是零?
→ chungweitw:不過我要先離開了:p..和醫師有約.
→ xwan227770:沒關係 我能確定你這有問題 但我抓不出來
→ xwan227770:滿怪的 不能跨過node 那為什麼結論是可以跨過node

   chungweitw 考慮得很仔細

   我認為 如果0點附近的行為是x^3

   但是 我們假設 |V(x)|<∞ for all finite x

   並且在任何一點都可以泰勒展開 (沒有pole)

   ψ" 的行為是6x

   而 (E-V(x))ψ 的行為是 c x^n (n≧3)

   但是 Schrodinger

   -(h^2)/(2m) ψ"=(E-V(x))ψ

   因此 x^3 是不可能的

   事實上 我們可以證明

   如果 ψ 和 ψ' 在某一點為0

   則ψ恆等於0

※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.96.5         (11/25 09:09)
推 chungweitw:有道理. 感謝
推 sunev:附加一點，如果位能sigular，就不能保證c1=c2了。
→ sunev:著名例子是1/x，這個1-d 位能的束縛態有簡併。
→ xwan227770:事嗎? 可是你的V(x)是個函數
→ xwan227770:湊不出這個解嗎?
→ xwan227770:還有就是最後兩句話 為什麼整個波函數都會是零?
→ xwan227770:那無限位能井不就掛了
推 chungweitw:湊不出來. 若V(x) is regular,則可以Taylor expansion
→ chungweitw:最後兩句話是微分方程解的 uniqueness theorem
→ chungweitw:無限位能井裡面的波函數解沒有任何一點是 ψ=ψ'=0的
→ xwan227770:我知道是uniqueness啊 問題是你是解eigenvalue
→ xwan227770:不是像電磁學一樣加出一個解
→ xwan227770:是井裡面啊 但是井外也是波函數的一部份
推 chungweitw:given E, 就是和一般微分方程無異啊.
→ xwan227770:當然反正是零 也不用管井內井外
→ xwan227770:但是 物理上來看 波函數是零 那麼動量當然要是零
→ xwan227770:問題是你的E不能是被GIVEN的
→ xwan227770:那 這樣 我很懷疑粒子不會出現在某個地方
→ xwan227770:其他地方都不出現?
→ chungweitw:在井外的 V 一直都是無窮大...不是continuous function
→ chungweitw:uniqueness theorem 在那邊不適用.
→ xwan227770:電磁的唯一定理是basis線性疊加又matchB.C.
→ chungweitw:所以你只能用到區間內.
→ xwan227770:那weighting會是唯一
→ xwan227770:但量力哪有給個邊界 處在哪個狀態的機率就定下來的?
→ chungweitw:你解出 E 來了之後. 檢查是否有可能 ψ=ψ'=0 就是
→ chungweitw:given E 了
→ xwan227770:這要想一下 因為歸一化是物理的條件
→ xwan227770:如果你給定一個E 那麼波函數的係數可以很多種

   但是 我們假設 |V(x)|<∞ for all finite x

※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.98.253       (11/25 23:07)
→ xwan227770:還是怪怪的啊 如果是在0<x<a之間位能無限
→ xwan227770:這樣波函數就沒有解?
→ xwan227770:ok 那這樣我可以接受
→ xwan227770:如果都是finite 那這樣可以
→ xwan227770:所以結論就是 波函數可以跨過node?
→ xwan227770:所以是基於甚麼理由波函數不能跨過node?
推 chungweitw:結論就是 If V is finite everythere,the wavefunction
→ chungweitw:and its derivative are both continuous and there
→ chungweitw:is no degeneracy in 1D bound system
→ xwan227770:我覺得波函數可以跨過node這結論比較重要
→ chungweitw:"波函數可以跨過node" 是甚麼意思?
→ xwan227770:算了 這樣說不好 但是我還是覺得當E給定
→ xwan227770:node在哪邊就給定了
→ sneak: 不是 處處為零. 是在 https://noxiv.com
→ sneak: 這樣波函數就沒有解? https://daxiv.com
→ sneak: is no degen https://daxiv.com
→ sneak: 總是可以歸一...如果 http://yofuk.com
→ muxiv: 你要如何保證 c1=c https://muxiv.com