推 sunev:數學上的極限要各個方向都一樣才存在，但物理學家可以取自己 11/25 18:47
→ sunev:喜歡的方向，或說是有物理意義的方向即可。 11/25 18:48
※ 引述《JohnMash (John)》之銘言：
: 解Schrodinger Eq.時
: 有時僅要求ψ連續
: 有時要求ψ和ψ'均須連續
: 如何判定呢?
: 請眾網友不吝賜教
第一次看近物時，也想過這個問題。
記得有書本上是直接把ψ和ψ'均須連續作為基本假設。
至於有沒有書本已嚴格的數學處理，就不清楚了。
所以只能談一點我直觀上的理解。
因為既然薛丁格方程寫出來，有兩次微分，
如果不連續薛丁格方程可能就不能用，所以我們通常先假設它是連續的。
直到我們處理的位能情況裡，實在無法處理，而必須承認其不連續時，
再放寬原有的假設。
雖然從數學的角度來說，這種理由聽起來有點爛，
但是物理上好像也不是第一次遇到了。
例如電磁學上，描述點電荷的散度需要用到的Delta函數。
這個函數從傳統的函數觀點，也是非常奇怪的。
但是從物理上的圖像上去看我就覺得還好。
因為我們可以假想，原本的點電荷不是點電荷，而是有體積的帶電導體球。
然後我們再將它的體積無線縮小，趨近於零。
當然這在數學上計較起來是有點奇怪的。
因為原本是ㄧ個可微分函數，忽然變成一個在傳統定義上，應該要是不連續的函數。
不過對物理學家而言，管他那麼多呢。
總之就是體積會很小很小，但又沒有小到讓我們不可微分，
雖然看起來不連續，但其實仔細拿放大鏡看，他還是連續的。
數學上，好像把它叫做從連續函數取極限的廣義函數。
同樣的道理，我們也可以設想，薛丁格波函數，
其實根本就是連續且ㄧ階導數連續的，
只是因為某些位能就類似電磁學的點電荷那樣，導致波函數在巨觀上看起來不連續，
但實際上微觀來講他確實連續的，所以薛丁格方程還是可以照樣拿來用。
或者你就乾脆假設原本位能是有限，然後再讓位能趨近無窮大，
使得原本連續的波函數，也隨之變成不連續的了。
我知道這在數學上的角度，這些說法很爛。
不過在物理上，這種區別沒有造成我的困擾，因為直觀上很容易想像。
（儘管這種直觀，嚴格上可能是錯的。）
（清楚細節的網友，也希望能不吝指教。）
其實類似這種數學上沒定義清楚的例子，在物理上有很多，
很多時候，物理學家是靠直覺去默認某些東西，
有可能他們自己清楚這點，也可能沒有意識到。
當然這有好有壞，因為直覺以為理所當然的東西，可能不見得正確。
我自己比較印象深刻的是狹義相對論很多書都談，
幾乎每本都告訴你愛因斯坦的兩大基本假設，
卻很少去把局部加速系與局部慣性系等效作為基本假設。
(就我看到的書，只有Goldstein古典力學和Rindler相對論有特別提到。)
當時也造成我不小困擾，我總會去想：
兩大基本假設到底能不能保證這件事？
如果不能，那我又怎麼知道，這兩者等效？
當然現在去看這個問題，就比較清楚了。
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