※ 引述《JohnMash (John)》之銘言：
: 我們知道一維 harmonic potential 的 Schrodinger Eq.
: 其 energy eigenstates 是 nondegenerate.
: 請證明之
: (你知道 Greensite 的講義 關於這個問題 很含混的帶過)
這一題表面上看起來不難，但實際解方程時
才發現有點難度，難在處理方程解的發散特性
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直接解方程
h^2
- ----- ψ'' + 1/2 k x^2 ψ = Eψ
2m
Boundary condition: ψ-> 0 as x -> +-∞
-h^2
------ ψ'' = (E - 1/2 k x^2) ψ
2m
先不考慮邊界條件
因為對任意 x 而言，h^2/2m 之值處處不為零，根據 ODE 基本定理
只要給定 ψ(0) 與 ψ'(0) 的值，則ψ存在唯一解
再加上此方程為線性方程，所以我們可知，此方程有兩個線性獨立解
換句話說，對某個 energy 而言，即使存在 degenerate state，至多只有兩個
再者，若 ψ(x) 是方程解，則 ψ(-x) 亦是方程解
換句話說，此方程的解空間的基底可表示為 {ξ(x), ζ(x)}
其中 ξ(x) 為偶函數，ζ(x) 為奇函數
若此方程存在一非零解滿足上述之邊界條件
則因此解可表達為 A ξ(x) + B ζ(x)，A 與 B 不同時為零
且 A ξ(x) + B ζ(x) -> 0 as x -> +∞
A ξ(-x) + B ζ(-x) -> 0 as x -> +∞
換句話說，A ξ(x) + B ζ(x) 與 A ξ(x) - B ζ(x) 均趨近於零 as x -> +∞
又因 A 與 B 不同時為零，所以 ξ(x) 與 ζ(x) 至少其中之一滿足邊界條件
相反地，若 ξ(x) 與 ζ(x) 均不滿足邊界條件
則此方程就不存在滿足邊界條件的非零解
所以，接下來的方向，就直接處理 ξ(x) 與 ζ(x) 即可
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接下來就是說明，此方程至少存在一發散解 (發散至無窮大)
考慮某一解 τ(x) 滿足 τ(2√(E/k)) = 1, τ'(2√(E/k)) = √(2mE) / h
則可証得 (詳細証明就留給大家囉)
2mE
τ''(x) > ----- exp[(√(2mE) / h)(x - 2√(E/k))], as x > 2√(E/k)
h^2
√(2mE)
τ'(x) > --------- exp[(√(2mE) / h)(x - 2√(E/k))], as x > 2√(E/k)
h
τ(x) > exp[(√(2mE) / h)(x - 2√(E/k))], as x > 2√(E/k)
所以，τ(x) -> ∞ as x -> ∞
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換句話說，此方程至少有一解不滿足邊界條件
又因只有兩個線性獨立解，所以，最多只有一個線性獨立解，滿足邊界條件
換句話說，harmonic potential 的 energy eigenstates 是 nondegenerate
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當然，我們已經知道，當 E = 1/2 h√(k/m), 3/2 h√(k/m), 5/2 h√(k/m), ... 時
此方程存在滿足邊界條件的解 (即為 eigenfunction)
但問題是，除了上述的 E 之外，其它的 E 值，是否存在滿足邊界條件的解？
答案是否定的
(所以大家所學的 harmonic potential 其 quantized energy 就只有上述的值)
不過這件事要解一個有點麻煩的方程：Hermite equation
它的解空間，上述的 ξ(x) 與 ζ(x) 則表達為 confluent hypergeometric function
是否滿足邊界條件，則要處理 confluent hypergeometric function 的發散特性
網路上可以找到一些論文在討論這件事，這我就不多提了
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