Re: [題目] 2001 奧賽初選 氣體動力論

[xgcj (xgcj)]

對於剛剛的文章有板有提出了問
我就這些疑問做個解答

現在

我們先考慮一個封閉容器上有一個薄開口

你可以想像是一張紙 然後面被剪開了一個小面積

然後這個密閉容器裡面是一個已經達平衡的氣體系統

我們現在就來計算我剛剛講的所謂的"流"要怎樣計算

我先大概說一下結果

結果其實很簡單

但是過程有點複雜

在正式的計算前

我們先複習一下所謂的電流密度的概念

後藉由電流密度的概念來推導 我們這裡所謂"粒子流"

的結果

---------------------------------------------------

電流密度是一種向量 它對面積積分出來的結果是電流

也就是它是真正在空間中表示某種東西流動的一個物理量

而電流本身則是代表兩區間之間某種量的時變率 並不是

一種空間分布
       →    →
       j =ρ v

電流密度相當於電荷密度乘上該電荷位置的速度向量
      →
在所有v 均同方向的時候 你可以用很簡單的方式去計算電流大小
                               ^
例如:一塊長方體 電流密度方向向 x 軸 截面積為 A

這個時候他的電流就是jA 但是如果你要計算在y軸方向的電流的話

那就是0 因為 j 跟 y 方向的向量內積後為0

所以我們在計算粒子流的時候要考慮到各個方向的機率

------------------------------------------------------

現在我們就先引進Maxell的分布
                        2
        m   3/2      -mv
f(v)=(-------)  Exp[-------]
       2πkT         2 kT

在某個速度空間的某個點的機率
                                 2
                 m   3/2      -mv
f(v)dv dv dv =(-------)  Exp[-------]dv dv dv
      x  y  z   2πkT         2 kT     x  y  z


那我們現在開始計算在空間中擁有著個速度對我們的"流的貢獻"


              ^
            ↑z        ↑

                 ↖            ↗

               ↖                ↗

             ←                   →
       --------------  ^    ---------------
                      Az

              ^  →    ^     →
我們的流dI= A z dj  =A z ˙ρv  f(v)dv dv dv
                                      x  y  z

           =Aρv cos(θ)f(v)dv dv dv
                              x  y  z


       I=∫Aρv cos(θ)f(v)dv dv dv
                             x  y  z

             ∞  π/2         2π                2
        =Aρ∫ dv∫dθsin(θ)∫dφ v cos(θ)f(v)v
             0    0           0

             ∞  π/2  2π   3
        =Aρ∫ dv∫dθ∫dφ v cos(θ)f(v)
             0    0    0

             ∞   1                     3
        =Aρ∫ dv∫d(cos(θ))cos(θ)2πv f(v)
             0    0

                1  ∞    3
        =2πAρ---∫ dv v f(v)
                2  0

               ∞    3
        =πAρ∫ dv v f(v)
               0
                                         2
               ∞    3    m  3/2      -mv
        =πAρ∫ dv v (-------)  Exp[-------]
               0        2πkT         2 kT


                2 k T 1/2  -3/2 ∞    3      2
        =πAρ(-------)   π   ∫ dy y Exp[-y ]
                  m             0

              2 k T   ∞    3      2          2
        =Aρ(-------)∫ dy y Exp[-y ]   (let y =x,2ydy=dx )
               mπ    0

             3    1
            y dy=---xdx
                  2

              2 k T 1/2  ∞    1
        =Aρ(-------)   ∫ dx ---x Exp[-x ]
               mπ       0     2
               k T  1/2              8 k T1/2  _
        =Aρ(-------)     (我們知道(-------)  =V [平均速率] )
              2 mπ                   mπ
          1    _
        =---AρV
          4
最後的結果剛好是 面積*(密度)*(1/4)(平均速率)
                                   1/2
這樣大概可以清楚交代了 結果還是跟(T    )成正比 所以之前用來代替的方式是合理的

PS:這個結果也可以適用到光上面不過還有待計算(以前算過應該是一樣)

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推 doom3:有些自訂圖 裡面有盾地獸
推 vodkaQ:蟑螂可以遁進學姊房間,遁地獸只能在外面戳啊戳
推 PPPGGG:蟑螂只能進去吐口水  遁地獸卻能在門外享受戳人的快感
推 s055257:所以應該要結合兩者的特點!?
推 jay01684:頓地獸可以移動就太imba了XDD
推 angelicwing:這個推文是怎樣 囧
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.113.68.211
推 a0184030:推 這篇跟我想講的解法一樣 不過以奧賽初試來說
→ a0184030:似乎是直接從理想氣體方程式直接下手就好了