作者condensed (我的冒險生活)
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標題Re: [問題] 相對論問題 雙胞胎
時間Wed Dec 1 05:08:01 2010
※ 引述《Lamar7 (歐登)》之銘言：
: 題目是
: 一對雙胞胎出生後，哥哥即被送往太空中，太空船以接近光速的速度離開地球
: ，而弟弟則留在地球上看見其時間膨脹，多年後哥哥返回地球，卻發現弟弟比他老了許多
: ，哥哥相對比較年輕，請問是真的嗎？ 對於此問題要如何解釋？
: (以狹義相對論的觀點探討之)
: ------------------------------------------------------------------------------
這也算是萬年老梗了。
先澄清，廣義相對論是在處理因質量分佈引起的時空彎曲。
如果時空是平坦的，就只要用狹義相對論處理。
說加速系不能用狹義要用廣義，是種極其有害的誤解。
雙生子問題在很久以前曾經被大物理學家吵過，甚至在知名期刊上公然對幹，
不過時至今日，這問題已塵埃落定，相對論物理學界早已取得一致的共識。
(參考吳大猷<相對論>、梁璨彬<微分幾何入門與廣義相對論>)
個人覺得這問題會被不斷提出來，不是沒有道理的。
在現行的暢銷書中，很少看到針對關鍵處，給出清晰完整的解釋。
以下統整幾個過去曾遇過的困惑：
清大故教授顏晃徹，曾在科學月刊，寫過一篇文章，說明雙生子問題。
策略是假設哥哥在去與回時，分別做了兩段的等速度運動，
從而將加速過程，避而不談。這也是某些教科書採取的做法。
這樣的做法，雖然獲致的結論正確，卻未觸及到困惑的核心。
這裡有幾點值得注意的是：
1.弟弟以時間膨脹的觀點，預期哥哥會比較年輕。
這對多數人應該是比較容易理解與接受的。
但是哥哥卻不能以同樣的方式，去預期弟弟比較年輕，
這正是多數人的困惑所在。
所以從弟弟的時空圖來分析，雖然可以得到正確結論，
卻未能讓存有疑的學習者滿意。
2.此處做法看似避開了加速過程，實則不然。
物體的速度變化必然需要時間，無論加速度大到什麼程度皆然。
因此這種處理方式固然可以做為一種近似，卻不能在實質上，
真正地避開加速過程。換言之，加速過程仍是存在的。
如何看待這個加速過程，正是許多學習者關注的核心問題，
也正是整個雙生子問題的重要關鍵。
先做個小結：
要計算出哥哥比弟弟年輕多少，是極其簡單的。
只要給出哥哥相對於弟弟的速度V(t)，
就能依此決定出哥哥在弟弟慣性系的時空圖中的軌跡(即世界線)。
這段世界線長，也就是哥哥歷經的固有時(即哥哥在這段旅程中，生理上老了幾歲)。
可以一般性的證明，任何路徑計算出來的世界線長，都會比弟弟的世界線長要短。
所以說這裡的主要困難，不在計算，而是概念上的。
也就是從哥哥的角度，會如何去看待這個過程。
(喝杯茶後繼續)
那既然相對等速度運動的情形，不是這裡要攻克的主要難點，
(如果你還不了解時間膨脹的概念，請先參考普通物理有關狹義相對論的單元。)
不如就直接假設，哥哥從頭到尾都在做加速度運動。
流程可以是這樣子：
靜止 -> 等加速度運動 -> 等減速度運動 -> 折返點 -> 等加速度運動 -> 等減速度運動
那這裡要談到加速系，必須先說明加速系(這裡指的其實是非慣性系)和慣性系的不同。
慣性系指的就是滿足牛頓第一定律的參考系，在這個參考系內的物體，
如果不受外力，原本靜止的，就依然會是靜止的。
加速系則不同，在加速系裡，不受外力的物體，仍會有加速度存在。
我們可以去做各種實驗，檢驗出來。
例如你剛搭上台北捷運，在啟動的那一刻，會明顯感覺到車在動，
正是由於車在加速的關係。
想像一下在太空中，四周空無一物，你處在一個密閉的電梯裡，
這時有人在電梯外拉著這個電梯，開始做等加速度運動。
這時候電梯中的你，肯定感覺得到哪裡不對勁。
原本你應該是要飄在半空中的，卻忽然開始向地板底下掉，
這種情形在慣性系中是不應該看到的。
而這，就是加速系和慣性系的區別所在，
也正是太空船上的哥哥，感受到的情形。
在加速系中，還有個有趣的現象，是慣性系中看不到的。
站在地板上(太空船尾)的你，會發現天花板上(太空船頭)的鐘，
居然跑得比地板上的鐘還要快。
這種情況，為了方便起見，以後我們就統一說：
======================================================
在加速系中，位置高的鐘，走得快；位置低的鐘，走得慢。
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至於上述這個結論怎麼得到，推導方式就有很多啦，
我只舉一個最簡單的例子(不好意思，我想快點把這篇文章打完。)：
靜止時，太空船的前端和後端各放一個構造相同的光鐘，
穩定發出相同的頻率，相同的週期。
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那週期大小，就決定了鐘的快慢程度。
也就是說，你接收到幾個波，就代表對你而言，鐘跑了幾個時間刻度。
所以頻率大的鐘，就跑的比較快。
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從靜止開始，本來貼在地板上的你，覺得兩個鐘的走速是一樣的。
接著，太空船前後同時開始等加速度運動，由於你和地板上的鐘是相對靜止的，
是在同一條世界線上的，你的時間就是地板的時間，地板的時間就是你的時間。
你們歷經的固有時是完全是一樣的，你不會覺得有什麼異常，你依然接收到相同的頻率。
可是天花板就不同了，當天花板的鐘，發出的光要往你傳過來時，
由於你在加速的關係，比原本多出了一個速度變化量，向著光波迎面而去。
由於光之都卜勒效應的關係(若這個不知道，只能再請你去參考普通物理了。)，
你會接收到比預期還要更高一點的頻率。
==================================================
也就是說，你會覺得天花板的鐘，走得比地板上的鐘快。
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其實說到這裡，如果你還沒有頭昏腦脹的話，
我覺得應該已具備足夠的基礎，解開之前的問題了。
換言之，在慣性系裡，任何時鐘都不會比靜止的鐘走的快。
可是加速系卻不然，加速系裡其他的鐘，是可以走得比綁在人身上的要快的，
如果它是在"比較高的位置"(請依先前定義)上的話。
反過來，如果他在比較低的位置，就會因加速系效應，走得比預期較慢些。
這就是為什麼哥哥不能直接套時間膨脹公式，來計算弟弟歷經的固有時的主因。
因為哥哥處在加速系，必須要再考慮加速系裡，造成的效應。
(以上是定性分析，實際的公式就請你自己做練習題，推導一下，不難。)
接下來我再稍微談一下關於吳大猷的文章，
在物理雙月刊以及<相對論>中，都談及雙生子的問題。
正如一開始提到的，時空是平坦的，所以廣義相對論是用不到的。
這裡就必須談到狹義相對論與廣義相對論的關係。
請不要看到廣義相對論就急著按 <- 好嗎？
這裡只會用到一點等效原理的概念，不是什麼妖魔鬼怪的東西。
等效原理是在說(科普版，非嚴格正確)：
==================================================================
靜止在地球上的電梯，和在太空中等加速度運動的太空船裡的人，
感受到的電梯中的物理現象，是完全一樣的。
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更進一步地說，根本沒有所謂的重力，地表附近會覺得東西往下掉，
是因為地球的質量，彎曲了週圍的時空。
換言之，靜止在地面上的電梯，不是慣性系，而是加速系(較確切的說，是非慣性系)。
那誰在加速它呢？就是地面了，地面的支撐力加速了這個電梯。
那慣性系在哪呢？答案就是自由落下的電梯。
在自由落下的電梯中，沒有任何力在加速這個電梯，
因而這電梯是個侷部的慣性系，在這個慣性系裡，你會飄在半空中，
所以確實就是慣性系(請不要去做這個實驗)。
啦哩啦渣的講了一堆，結論就是，
愛因斯坦找到了處理重力的方案，也就是等效原理。
以後遇到有質量造成的重力場的地方怎辦？
沒關係，你就拿以前在慣性系和加速系裡面推的東西來用，
因為有等效原理。
所以在地表附近，高山上的鐘走得比平地的鐘快，
(假設這裡不考慮地球自轉，導致相對速度造成的效應)，
也就是直接套用我們先前對加速系所做的結論。
這樣我們就可以知道重力場中的情形。
那用廣義相對論來考慮雙生子問題，是多此一舉的。
因為你沒有要考慮重力問題，也就不需要用到等效原理。
那重力場中的公式，也是藉由狹義相對論，透過等效原理的連繫，而得到的。
所以如果你用重力場中的公式，去考慮加速太空船裡的情形，
是兜了個圈子，將原本單純的問題複雜化了，自找麻煩的。
因為這個問題本質上，和廣義相對論是完全沒有關係的，也用不到等效原理。
所以說，雙生子問題完全是狹義相對論就能解決的了。
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◆ From: 140.112.102.3
推 youmehim:推 12/01 17:07
推 kuromu:不知道這樣想對不對 哥哥和弟弟的差別在哥哥有折返 12/01 21:28
→ kuromu:折返加速度是朝著弟弟 所以 弟弟算是所謂的高處(?) 12/01 21:29
→ kuromu:高處的鐘比較快 所以是這個效應造成哥哥比較年輕? 12/01 21:29
→ kuromu:如果這樣想是對的 那高處的效應比正在移動造成時間變化的 12/01 21:30
→ kuromu:效應大? 12/01 21:30
回kuromu大：
你的理解，完全正確。
推 HDT:跟高處無關= = 雖然說重力場和加速度場是等效的 12/01 21:39
→ HDT:不過雙生子的問題並不在那裏 12/01 21:39
雙生子的問題確實就在這裡。
因為等效重力場造成的時間收縮效應，
恰可解釋為什麼哥哥應該推論弟弟老得快。
正如我先前說過，以及kuromu大理解到的。
→ kuromu:如果沒有折返 哥哥覺得弟弟的鐘慢 弟弟覺得哥哥的鐘慢 12/01 22:18
是的
→ kuromu:應該都對? 但是變成哥哥有折返的情況 12/01 22:19
→ kuromu:弟弟會覺得哥哥鐘一直比較慢? 12/01 22:19
是的，因為弟弟始終在同一個全域慣性系。
他一定會得到這種結論（詳見我回給x大的文章）。
推 HDT:如果沒有折返 對兩者而言對方的時間都會變慢 但是沒有意義啊 12/01 22:20
沒錯。
如果沒有加速過程，就沒有雙生子問題。
→ kuromu:那哥哥會覺得弟弟的鐘到底變快或變慢? 所以哥哥的感覺 12/01 22:20
→ kuromu:應該可以用這篇文章定義的"高處"解釋? 12/01 22:21
希望上面有回答到你的疑問囉。
→ xgcj:重點是回到同一點 12/01 22:21
→ HDT:有座標軸變換的人時間會過得比較慢 12/01 22:21
→ kuromu:我是想問這樣的問題 12/01 22:21
→ HDT:嗯 沒有同地 無法量測時間差 12/01 22:21
要看是怎麼量啦，這裡只是技術問題。
如果弟弟的全域慣性系到處充滿了人，直接把鐘同步後，就地比較即可。
當然對初學者來說，直接繞回來比較，心理上會覺得比較單純。
→ HDT:還有學長你不是要考試? 12/01 22:22
※ 編輯: condensed 來自: 140.112.102.3 (12/01 23:42)
推 louis925:這裡的加速度的例子跟雙生子問題的情況好像不太一樣耶? 02/10 17:24
推 louis925:另外，一般所說得雙生子弔詭等速度運動的時間遠大於加速 02/11 00:18
→ louis925:時間，跟C大說的狀況不一樣(C大的主要都在加速) 02/11 00:19
→ louis925:嘎，我大概了解了@@ 02/11 02:11