Re: Bessel Function

[JohnMash (John)]

※ 引述《JohnMash (John)》之銘言：
:   Bessel Function
:   [d^2/dx^2 + (1/x)d/dx + (1-n^2/x^2)]ψ=0
:    當n>0 時
:   有兩個獨立解
:   其中一個在 x=0 時 是有限的
:   另一個在 x=0 是無限大的
:   能否從微分方程中 看出來?
:   (請勿用公式解)

   把問題重寫一遍

   [r^2 d^2/dr^2 + r d/dr + (r^2-α^2)]ψ=0........(1)

  當α≧0 時

  有兩個獨立解
  其中一個在 r=0 時 是有限的
  另一個在 r=0 是無限大的

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  我的看法是這樣的

  當α非整數時

  假設 ψ 的 最低次項是 r^c (c不必是整數)

  因為 Eq. (1) 是等式 所以左右兩邊 在r的任何次項都要相等

  考慮兩邊 r^c 項的係數

  c(c-1)+c-α^2=0 因此 c = ±α 分別對應 J_{±α}

  故得證

  只是 當α=n 是整數時 r^(-n)  會出麻煩

  一般是說 將 J_{+α}, J_{-α} 做一個線性組合

  再令 α→n  得到 Y_{n}

  可是 Y_{n} 的最低次項為何?

  一般並無記載 (只知道發散)

  我猜是 r^{-n}

  不知其他人以為如何?


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◆ From: 112.104.173.144
※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.173.144      (12/02 01:02)
推 xwan227770:麻煩點在n是整數時 那個J_(n)和J_(-n)
→ xwan227770:會變成線性相依
→ xwan227770:Y的話 其實要得到 可以從Wornskin出發
→ xwan227770:總之 我還是搞不懂你的問題
→ xwan227770:你是想問說紐曼函數的原點是幾階pole嗎?
→ xwan227770:如果你要問這個的話
→ xwan227770:在原點的紐曼函數我印象中應該是比較像ln(x)
→ xwan227770:所以 基本上你的猜測是有問題的
→ xwan227770:簡單來說就是那一點是無窮多階的pole
→ xwan227770:總之建議你去翻特殊函數表 找x接近零時 Y的近似函數
→ xwan227770:應該沒意外的話是ln(x)
推 Frobenius:http://tinyurl.com/6k5u5q
→ Frobenius:(9式)將非整數v趨近整數n取極限用羅必達可整理得(10式)
推 Frobenius:至於(9式)怎麼來的則是由Wronskian出發
推 Frobenius:於是Yv(z)由Jv(n)和J-v(z)的線性組合再分別作Wronskian
推 Frobenius:就可以找到Yv(z)的Jv(n)和J-v(z)前面的係數
推 Frobenius:而是由羅必達法則取極限這關鍵步驟得出㏑(z/2)導致發散
→ Frobenius:從(10式)知道Yv(z)的最低次項並不會導致發散
→ Frobenius:而是由羅必達法則取極限這關鍵步驟得出㏑(z/2)導致發散
  感謝兩位的熱心

  從 (10) 可知

  可能發散項是

  x^{-n}, x^{-n+2},....., 及 x^n ln(x) (因為 J_n(x)=x^n+...)

  所以

  Y0=ln(x)

  Y1=x^{-1}

  Y2=x^{-2}

  ..........

  是這樣嗎?

※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.129.196      (12/05 10:17)
推 Frobenius:Y0(z)請看(15式)
推 Frobenius:z→0時除了Y0純由㏑項造成發散，
→ Frobenius:Yn(z) (n≠0) 還多了(10式)第一項求和的最低次項
推 Frobenius:                                     負數次方
推 Frobenius:第一項求和的負數次方項之數量為[(n+1)/2] []為高斯符號
推 Frobenius:n偶數：負次方有z^(-n),z^(2-n),…,z^(-2)共計(n/2)  個
→ Frobenius:n奇數：負次方有z^(-n),z^(2-n),…,z^(-1)共計(n/2)+1個
→ Frobenius:n = 0：負次方有 0 個
推 Frobenius:又Y-n(z)=(-1)^n Yn(z)
→ Frobenius:故只討論Yn(z)在n為非負整數的情況
→ Frobenius:總和造成發散的原因：㏑項、[(n+1)/2]個負數次方項
→ sneak:             https://noxiv.com
→ sneak: 總之建議你去翻特殊函數 https://daxiv.com
→ sneak: Yn(z) (n≠0) https://daxiv.com
→ sneak: 總和造成發散的原因：㏑ https://noxiv.com
→ muxiv: //tinyurl.c https://noxiv.com