Re: [問題] 圓盤導體中心上方電壓求法?

[deepwoody (快回火星吧)]

※ 引述《johnoldman (嗶嗶嗶)》之銘言：
: 請問若一半徑為a
: 厚度極小之導體圓盤與xy平面平行
: 表面電荷非均勻分佈,
: 如何求中心上方z處之電壓??
: 電荷分佈與曲率成正比
: 公式如下~
:                            Q
: σ(x,y,z) = --------------------------------------------------------
:                4πabc { (x^2 /a^4 ) + (y^2 /b^4) + (z^2 /c^4)
: 感謝耐心看完題目

(導體只有面電荷密度吧)

要變成圓盤，也就是c→0，而 1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2) = (z^2/c^2) [橢球]

                                        Q
=> σ(x,y) = ───────────────────────────────
              4πab[c^2(x^2/a^4)+c^2(y^2/b^4)+1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2)]^(1/2)

 c→0                              Q
======> σ(x,y) = ────────────────── (兩面，所以乘以2了)
                   2πab[1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2)]^(1/2)

現在，導體為圓盤，也就是 a = b，且定義 r ≡ (x^2+y^2)^(1/2)

                    Q
=> σ(r) = ────────── (note:導體在尖點(r=R)處電荷密度無限大)
            2πa(a^2-r^2)^(1/2)

          1   a   σ(x,y)2πrdr
=> V = ───∫ ─────────
        4πε 0  (z^2+r^2)^(1/2)

          Q     a             rdr
     = ────∫ ─────────────────
        4πεa  0  (a^2-r^2)^(1/2) (z^2+r^2)^(1/2)

     = .........  (積分給mathematica算了)

             -1
        Q tan  (a/z)
     = ───────
          4πεa
                      #

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◆ From: 140.112.211.87
推 xgcj:積分給mathematica算了XD
※ 編輯: deepwoody       來自: 140.112.211.87       (12/10 22:35)
→ chungweitw:你把題目改囉
→ chungweitw:不過我是看不懂他原來的題目是甚麼 就是了..
→ deepwoody:我沒有改題目呀@@
→ chungweitw:原題目沒有根號
※ 編輯: deepwoody       來自: 140.112.211.87       (12/10 22:39)
→ deepwoody:阿...
→ chungweitw:另外, 就是原題目也沒說 a=b. 也許b 只是某參數?
→ deepwoody:做法應該差不多吧XD
→ deepwoody:橢球導體上的電荷密度是我寫的那個沒錯
→ deepwoody:Griffiths的習題有
→ chungweitw:所以看來是原發問的題目有問題
→ deepwoody:嗯...
※ 編輯: deepwoody       來自: 140.112.211.87       (12/10 22:44)
推 johnoldman:殘愧,我公式打錯,結果讓D大改正過來了,高手!  Orz
→ johnoldman:慚
→ johnoldman:再請問一下 如果要求此圓盤電容,V要乘2嗎?
不用，上面的面電荷密度乘以2的原因是原本橢球上下兩個表面是分開的

現在取c趨近於0，也就是上下兩表面的電荷已經合在一起了，所以乘以2

而求電容時，Q = CV，這個V是指電位差，即V在z=0處到z=∞處的差值

=> △V = |V(z=0)-V(z=∞)| = (π/2)-0 = π/2

=> C = Q/(π/2) = 2Q/π
※ 編輯: deepwoody       來自: 140.112.211.87       (12/11 11:45)
推 johnoldman:^^b
→ sneak: 阿... https://noxiv.com
→ sneak: 做法應該差不多吧XD https://daxiv.com
→ sneak: //noxiv.com https://muxiv.com
→ sneak: ^^b http://yofuk.com
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