Re: Laplacian in Spherical Coordinate

[caseypie (吟遊詩人)]

那就開始吧，以下參照費曼物理學講義第二冊第三章（吧），從定義直接來：

1. Laplacian = 對某純量場先做梯度再做散度
   我知道靜磁學裡就有個向量位的Laplacian的公式
   不過課本也說了那個只有在直角座標下才能用，本質上還是對向量場的純量分量作用

   總之，根據這個定義，只要分別知道極座標的散度和梯度的形式
   再疊合起來，就能輕易地得到Laplacian


2. 所以先由純量場在空間中的變化量導出梯度：
   極座標下，小量向量線段單元是表示成： dl = (dr, rdθ, rsinθdφ)
   上式的三個方向當然是r,θ,φ方向
   所以純量場f在空間中的變化量，就是f沿著這三個小量的變化量：
   （以下以P表示偏微分partial之意）

         P f        P f         P f
   df = -----.dr + -----.dθ + -----.dφ
         P r        Pθ         Pφ

         P f         P f               P f
      = -----.dr + --------.rdθ + -----------.rsinθdφ
         P r        r Pθ           rsinθPφ

      = (Pf/Pr, (1/r)(Pf/Pθ), (1/rsinθ)(Pf/Pφ) )．(dr, rdθ, rsinθdφ)

      = grad(f)．dl

  所以grad(f) = (Pf/Pr, (1/r)(Pf/Pθ), (1/rsinθ)(Pf/Pφ) )

  事實上這個公式很簡單，所以應該很多人早就背起來了


3. 接著來導散度：
   散度的定義，就是一個向量場，於空間中一點的向外發散量
   直觀起見，先求一小量空間的發散量，則此發散量必定等於梯度乘以該小量空間

   極座標下，小量空間為：

   dr．rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdrdθdφ

   此小量空間有六個面，分三組，分別為：

   (1)法向量±r方向 ： rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdθdφ
   (2)法向量±θ方向： dr．rsinθdφ   = rsinθdrdφ
   (3)法向量±φ方向： dr．rdθ        = rdrdθ

   所以，某向量（A_r , A_θ , A_φ），沿著這三個方向的發散量分別為：

   ±F_r  = ±(A_r)(r^2)sinθdθdφ , ±r 方向
   ±F_θ = ±(A_θ)rsinθdrdφ     , ±θ方向
   ±F_φ = ±(A_φ)rdrdθ          , ±φ方向

   但是，以±r方向方向為例，兩個平面之間又有dr的差別，因此發散量又有變化
   所以，整個小量空間的總發散量為：

     (-F_r) + (F_r + d(F_r ))
   + (-F_θ)+ (F_θ+ d(F_θ))
   + (-F_φ)+ (F_φ+ d(F_φ))

   = d(F_r ) + d(F_θ) + d(F_φ)

                 P((A_r)(r^2))             P((A_θ)sinθ)           P(A_φ)
   = sinθdθdφ---------------dr + rdrdφ---------------- + rdrdθ---------
                     Pr                         Pθ                   Pφ


       1    P((A_r)(r^2))      1     P((A_θ)sinθ)      1     P(A_φ)
   = {----.--------------- + ------.---------------- + ------.---------}．dτ
      r^2       Pr           rsinθ       Pθ          rsinθ    Pφ

   = div(A)．dτ

   礙於空間，dτ = (r^2)sinθdrdθdφ即為小量空間

   所以div(A)

         1    P((A_r)(r^2))      1     P((A_θ)sinθ)      1     P(A_φ)
     =  ----.--------------- + ------.---------------- + ------.---------
        r^2       Pr           rsinθ       Pθ          rsinθ    Pφ

   一般人要記起來有困難的應該是這個公式
   不過依照上述步驟就可以非常簡單地要用時再推導就行了


4.既然極座標下的梯度和散度公式都有了，那麼Laplacian就很簡單啦
  只要把梯度的三個分量丟入散度公式中的向量三分量，就能合併兩者得到Laplacian了

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.113.73.84
→ Vulpix:c大的推導應該就是這個，而且這不也就是微分幾何寫到
→ Vulpix:Laplace op. 時最常用的公式嗎？
→ caseypie:所以我說繞一圈從直角座標開始根本多此一舉阿
→ condensed:正解，若常用應該可以很快地直接寫下。
→ condensed:這個方法可以直接推廣到任何正交坐標系。
推 xgcj:這方法其實是大家比較喜歡用的 因為簡單又符合 直觀
→ condensed:印象中Griffiths電磁學後面的附錄有講?
→ caseypie:G老大有提要，沒有整組導出來的樣子
→ condensed:剛翻了一下其實他有教，他推導的是正交坐標的一般型式。
推 uniserv1002:起點就是不同的座標系裡長度(Norm)必須維持不變？
→ uniserv1002:所以ds^2 = h1^2 * (dr)^2 + h2^2 * (dθ)^2 +
→ uniserv1002:h3^2 (dψ)^2 = dR . dR
※ 編輯: caseypie        來自: 59.113.73.84         (12/19 21:27)
推 condensed:順便一提，有興趣可以試著推導任意坐標下的N維體積公式
推 joe70136:instructive !
推 eldar:很實用!
推 deepwoody:m起來吧
→ hank780420:推  很清楚
推 uniserv1002:Griffiths後面提到的calculus on manifolds我找到了
推 JohnMash:量力裡 還有L_z,L_+,L_-,L^2 in Spherical Coordinates
推 JohnMash:所以熟悉from Rectangular to Spherical 是必要的
→ JohnMash:請見17989的pdf檔
推 uniserv1002:我想問的是，在JohnMash的完整推導裡的連結，如果
→ uniserv1002:是用在Laplacian是行得通的，但是gradient卻不行
→ uniserv1002:是不是因為laplacian可以算是純量(能量守恆)
→ uniserv1002:但是梯度是向量場
推 uniserv1002:這樣那個完整推導根本只是巧合。
→ caseypie:L_z,L_+,L_-只是單次微分，用一般轉換就夠了
→ caseypie:至於L^2，那個用laviCivita等工具可以瞬殺
→ caseypie:to uniserv1002，重點在單位向量是否微分後不變
推 uniserv1002:所以就是正交性？
→ caseypie:應該不是這個詞，我數學不好，不知道是哪個詞來描述
→ caseypie:總之，你的單位向量要在整個空間中都指向同方向
→ caseypie:極座標的三分量在不同點指向不同方向，所以會變
推 JohnMash:我的做法就是將你的一般轉換變成兩次極座標轉換
→ JohnMash:並不是新的結果 而是更有效的方法
→ JohnMash:仔細比較 很容易看出來
推 JohnMash:對自己的推導方式很熟練的話 可以不必理會我的方法
→ xgcj:其實在R3裡面都可以用啊!
→ caseypie:你的方法只有在雙重lambda的時候才有優勢
→ caseypie:單次變換則和一般的變數變換根本沒有差別
推 nevinyrrals:廣義正交座標也滿好用的
推 amozartea:辛苦你了  打這個很累XD
推 laertes:推樓上...=  =好精美啊...我的數學不夠用了...
→ sneak: 並不是新的結果 而是更 https://muxiv.com
→ sneak: 所以熟悉from Re https://daxiv.com
→ sneak: 至於L^2，那個用la https://daxiv.com
→ sneak: 應該不是這個詞，我數學 http://yofuk.com
→ muxiv: 仔細比較 很容易看出來 https://moxox.com