Re: [問題] 等效電阻(懸賞3000P)

[rachel5566 (rachel5566)]

※ 引述《education (打擊出去 外野手退退退退)》之銘言：
: 爬了前面的幾篇文
: 還是不太懂要怎麼解
: 所以我就給第一個解出來的人3000P吧(要用回文把算式都列出來喔)
: 感謝!
: 7. 有一個電路如圖,所有電阻都是R(就是那些折線),求接上左邊兩個點點的等效電阻
:    ●─^^^┬^^^┬^^^┬
:           <    <    <
:           >    >    > ....
:           <    <    <
:    ●─^^^┴^^^┴^^^┴
: 感謝各位幫忙!

不正規的做法:

設總電阻為r，那麼這個電路可以等效為:

   R
─^^^┬──┐
     │    │
     ︴R   ︴r
     │    │
─^^^┴──┘
   R

=> r = R + R + (R||r) = 2R + [Rr/(r+R)]

=> r^2 - 2Rr - 2R^2 = 0

=> r = (1+√3)R

(P幣不用了...)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.211.87
※ 編輯: rachel5566      來自: 140.112.211.87       (02/18 13:14)
推 caseypie:要先說明一下為啥那個總效應是收斂的
收斂的理由應該是後面的部分可以一直和中間R不停地並聯
而一直並聯，總電阻會越並越小，所以不會發散

推 justin0602:為什麼是收斂的啊? 我從來沒想過耶 只知道這技巧
可以試著以遞迴解之: R_0 = 3R

(1)

─^^^┬^^^┐
     │   │               3R^2              R*R_0
     ︴   ︴  R_1 = 2R + ──── (= 2R + ─────)
     │   │              3R + R            R_0 + R
─^^^┴^^^┘

(2) 紅色部分電阻為R_1

─^^^┬^^^┬^^^┐
     │   │   │                 R*R_1
     ︴   ︴   ︴   R_2 = 2R + ─────
     │   │   │                R_1 + R
─^^^┴^^^┴^^^┘

(n) 同理，紅色部分電阻為R_(n-1)

─^^^┬^^^┬^^^┬      ─^^^┐
     │   │   │           │               R*R_(n-1)
     ︴   ︴   ︴………     ︴  R_n = 2R + ─────── ……(*)
     │   │   │           │              R_(n-1) + R
─^^^┴^^^┴^^^┴      ─^^^┘

接下來解出遞迴關係式(*)的解

給mathematica跑的結果，遞迴的解為: 令 x = [(-2-√3)/R]^n， y = [(-2+√3)/R]^n

R_n = {[5(x-y)+3√3(x+y)]/[2(x-y)+√3(x+y)]}R

再讓軟體跑 lim R_n = (1+√3)R
          n→∞

而最上面那個解法即R_n = R_(n-1)當n趨近於無窮大時

倘若R_n = R_(n-1)成立，很快地就可以解出答案，但這點可能真的需要說明
※ 編輯: rachel5566      來自: 140.112.211.87       (02/18 14:27)
推 education:恩恩  懂了 感謝