Re: [問題] 壓力容器排氣時間如何計算？

[xgcj (ㄨGc丁)]

※ 引述《monhui (飛呀～飛啊～)》之銘言：
:   有一壓力容器體積為V，內有壓縮空氣壓力為P1，外界壓力為P2 (P1>P2)
:   在此壓力容器上開一圓孔面積為A，請問需要多少時間可讓此容器之壓力達到P2？
:   工作中遇到類似的問題，google了老半天也找不到答案，請問有人知道該怎麼算嗎？

1作者: xgcj (xgcj) 看板: Physics
標題: Re: [題目] 2001 奧賽初選 氣體動力論
時間: Sat Nov 27 01:46:24 2010

對於剛剛的文章有板有提出了問
我就這些疑問做個解答

現在

我們先考慮一個封閉容器上有一個薄開口

你可以想像是一張紙 然後面被剪開了一個小面積

然後這個密閉容器裡面是一個已經達平衡的氣體系統

我們現在就來計算我剛剛講的所謂的"流"要怎樣計算

我先大概說一下結果

結果其實很簡單

但是過程有點複雜

在正式的計算前

我們先複習一下所謂的電流密度的概念

後藉由電流密度的概念來推導 我們這裡所謂"粒子流"

的結果

---------------------------------------------------

電流密度是一種向量 它對面積積分出來的結果是電流

也就是它是真正在空間中表示某種東西流動的一個物理量

而電流本身則是代表兩區間之間某種量的時變率 並不是

一種空間分布
       →    →
       j =ρ v

電流密度相當於電荷密度乘上該電荷位置的速度向量
      →
在所有v 均同方向的時候 你可以用很簡單的方式去計算電流大小
                               ^
例如:一塊長方體 電流密度方向向 x 軸 截面積為 A

這個時候他的電流就是jA 但是如果你要計算在y軸方向的電流的話

那就是0 因為 j 跟 y 方向的向量內積後為0

所以我們在計算粒子流的時候要考慮到各個方向的機率

------------------------------------------------------

現在我們就先引進Maxell的分布
                        2
        m   3/2      -mv
f(v)=(-------)  Exp[-------]
       2πkT         2 kT

在某個速度空間的某個點的機率
                                 2
                 m   3/2      -mv
f(v)dv dv dv =(-------)  Exp[-------]dv dv dv
      x  y  z   2πkT         2 kT     x  y  z


那我們現在開始計算在空間中擁有著個速度對我們的"流的貢獻"


              ^
            ↑z        ↑

                 ↖            ↗

               ↖                ↗

             ←                   →
       --------------  ^    ---------------
                      Az

              ^  →    ^     →
我們的流dI= A z dj  =A z ˙ρv  f(v)dv dv dv
                                      x  y  z

           =Aρv cos(θ)f(v)dv dv dv
                              x  y  z


       I=∫Aρv cos(θ)f(v)dv dv dv
                             x  y  z

             ∞  π/2         2π                2
        =Aρ∫ dv∫dθsin(θ)∫dφ v cos(θ)f(v)v
             0    0           0

             ∞  π/2  2π   3
        =Aρ∫ dv∫dθ∫dφ v cos(θ)f(v)
             0    0    0

             ∞   1                     3
        =Aρ∫ dv∫d(cos(θ))cos(θ)2πv f(v)
             0    0

                1  ∞    3
        =2πAρ---∫ dv v f(v)
                2  0

               ∞    3
        =πAρ∫ dv v f(v)
               0
                                         2
               ∞    3    m  3/2      -mv
        =πAρ∫ dv v (-------)  Exp[-------]
               0        2πkT         2 kT


                2 k T 1/2  -3/2 ∞    3      2
        =πAρ(-------)   π   ∫ dy y Exp[-y ]
                  m             0

              2 k T   ∞    3      2          2
        =Aρ(-------)∫ dy y Exp[-y ]   (let y =x,2ydy=dx )
               mπ    0

             3    1
            y dy=---xdx
                  2

              2 k T 1/2  ∞    1
        =Aρ(-------)   ∫ dx ---x Exp[-x ]
               mπ       0     2
               k T  1/2              8 k T1/2  _
        =Aρ(-------)     (我們知道(-------)  =V [平均速率] )
              2 mπ                   mπ
          1    _
        =---AρV
          4
最後的結果剛好是 面積*(密度)*(1/4)(平均速率)
                                   1/2
這樣大概可以清楚交代了 結果還是跟(T    )成正比 所以之前用來代替的方式是合理的

PS:這個結果也可以適用到光上面不過還有待計算(以前算過應該是一樣)

--

所以現在你知道 這個流的大小

現在 我將題目稍微修改一下

我們外面的氣壓 一直都是P2

裡面初始氣壓叫做P1好了 然後令裡面氣壓叫做P

也就是說 P(0)=P1

然後利用來計算流的差

            _     _
I=(1/4)A[ρ1V1-ρ2V2]


PV=nRT
_
V=√(8kT/mπ)

你接這些東西帶下去之後 應該可以得到微分方程

不過你題目其實不完整

所以沒辦法幫你算

不過

答案的形式應該會是像

P=P1(Exp[-t/T])的樣子


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→ nightkid:電子檔可接受嗎?
→ Griffiths1:......樓上也太高調了點
→ xgcj:你完蛋了nightkid~原作者來了
→ nightkid:作者抱歉(_ _)
→ Entropy1988:原來物理版其實也是很歡樂的 XD
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.113.66.194
→ xgcj:之前算的 現在用到了XD
推 monhui:謝謝xgcj的解說，我本來以為會是用流體力學的方式來計算的
→ monhui:按你這樣計算，基本上排氣的時間會跟開口面積成正比嗎？
→ HDT:...開口越大時間越大? 成反比吧XDDDDDDDDD
推 monhui:哈哈～對喔～夜深了也糊塗了，謝謝HDT指正
推 chungweitw:恩..是平均速率. 不是方均根速率. 我寫錯了