作者zweisteine (聖人見微以知萌)
看板Physics
標題Re: [問題] 二階微分方程的物理意義
時間Fri May 20 03:17:23 2011
※ 引述《chendaolong (JoJo A Go!Go!)》之銘言：
: 請問一下
: 物理上有很多方程式都是二階微分方程，不管是常微分或偏微分
: 例如，牛頓第二運動定律
: ..
: mx = F(x)
: 廣義相對論的愛因斯坦場方程
: G (∂ ∂ g ) = T (g )
: μν μ ν σλ μν σλ
: 這類的物理方程有更深一層的物理意義嗎？
: 為什麼不是更高階？為什麼到二階就可以停了？
: 謝謝
這個問題問得很好。
運動方程式是二階方程，
在Lagrange formulation的等價描述中只需要廣義座標和其對時間的一次微分。
白話一點的說，要描述一個運動只需要知道動能和位能，
而且動能和位能全部可以用位置和速度來描述。
又或是用Hamilton formulation來說，
要描述一個理論就只需要知道Hamiltonian如何用位置q和動量p來描述。
至於場方程式也是類似，但在古典場論中這種對應比較不明顯。
但正如板友所說，並沒有理由說不能有更高階項(起碼在古典物理的領域)
我們無法知道，
平常所用的只用位置和動量所描述的物理系統是否只是個更複雜的系統的近似。
到了量子力學，事情就有點不太一樣。
隨便引入高階微分項可能會破壞unitarity, locality或causality。
所以許多人大膽的猜測，描述基本作用力的理論必須是二階微分理論，
否則一個自洽的理論根本無法存在。
(至於所謂的等效理論，例如核物理或凝態物理的理論，
我們本來就不要求它對所有的能量尺度都正確，
自然就比較不會有這方面的限制)
但弦論的出現又打破了這樣的信心。
如果用場論的角度來看弦論，它是個無窮次微分的理論。
一個合理的解釋是，這個無窮次微分是來自一個錯誤的假設，
也就是基本粒子(fundemental subject)是沒有長度的點。
但其實fundemental subject是有長度的弦，
為了從粒子的角度來描述弦必須對粒子的位置做泰勒展開，
所以最後成了無窮次微分理論。
如果一開始就以弦的角度寫下Lagrangian，
這個理論又會回到二次微分理論。
即使到今天，「基本作用力只能是二次微分」這個說法還是不斷受到挑戰
也有許多人成功寫下不會破壞unitarity, locality或causality的高階微分理論，
但是這些通常也都和弦論一樣有一個變通的二階微分理論的解釋。
而且這些理論都受到很嚴格的限制，處理起來要很小心。
所以如果要說二次微分理論有什麼特別的物理意義，
大概只能回答說物理世界的本質給了這些理論比較小的限制。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 145.116.11.70
※ 編輯: zweisteine 來自: 145.116.11.70 (05/20 03:24)
推 xgcj:好久不見推! 05/20 03:23
推 jjsakurai:great! 基本上就是說給定動量和位置就可以知道一切物理 05/20 03:24
→ zweisteine:好久不見:) 05/20 03:27
推 Entropy1988:原來如此 05/20 09:15
推 Frobenius:太感動了 增長知識 XD 05/20 09:55
推 HDT:推 05/20 10:57
推 BBSealion:推! 05/20 11:08
推 GroundWalker:推! 05/20 12:00
推 m06:Push 05/20 12:59
推 newton2009:還是很難懂 Q＿O 05/20 13:06
推 zealeliot:推 05/20 14:07
推 Indigoa:真棒的解釋~ 05/20 21:09
推 jimiras:(y) 05/20 21:22
推 ipporock:推! 05/20 23:42
推 hsnuyi:推 05/20 23:49
推 ren1072:好文...雖然看不太懂 05/21 00:12
推 justsaygood:好文 05/21 00:54
推 condensed:強推 05/21 01:03
→ spacetime:推! 05/22 12:29
推 ooox:推! 05/22 22:33
推 chendaolong:太感動了！我就知道我的問題不是白目無聊的問題！ 05/22 23:31
推 damnapple:這種問題 也真不是隨便人能給的答案的 佩服!!! 05/23 22:39
→ damnapple:不過 你這種觀念 或是 更基礎的架構 是哪本書有提到嗎? 05/23 22:40