作者sirhc (sirhc)
看板Physics
標題Re: [問題] 二階微分方程的物理意義
時間Sun May 22 08:32:56 2011
我用量子場論的角度來回答這個問題
要回答這個問題 最好的方法就是利用renormalization
首先 我們需要建立一個概念
那就是廣義相對論, standard model, 或是凝態物理裡的Fermi liquid theory
全部都是低能等效理論 (low energy effective field theory)
這個意思是 這些理論只有在能量低的時候 所給的預測才是對的
在能量很高的時候 在能量高的時候 你用這些理論去算東西
會得到一堆nonsense
這裡講的能量高低 是相對的
廣義相對論 比Planck mass高 算高能量
standard model 高能低能的分野大概在1 TeV
Fermi liquid thoery 大概在1 eV
雖然這些理論在高能量的時候都有問題
當我們只關心 或者只能做低能量實驗的時候
他們還是非常有用的
再來 就是一個Lagrangian裡面 有些項在高能的時候會變很大
低能的時候會變小 這種項叫做irrelevant terms
有些項則相反 低能會變大 高能會變小 這種叫做 relevant terms
對於低能等效理論來講 irrelevant terms是不重要的
只有relevant terms
(我這裡講的不是完全正確 不過大概就是這樣)
而利用 因次分析 不難發現微分越多的項 在高能的時候會變得越大
低能的時候會變得越小
所以對於低能等效理論微分數越小的項越重要
對於以上的三種理論 只有微分數目是兩次或者更小的項才是重要的
這就是為什麼方程式都是二階微分方程
※ 引述《zweisteine (聖人見微以知萌)》之銘言：
: ※ 引述《chendaolong (JoJo A Go!Go!)》之銘言：
: : 請問一下
: : 物理上有很多方程式都是二階微分方程，不管是常微分或偏微分
: : 例如，牛頓第二運動定律
: : ..
: : mx = F(x)
: : 廣義相對論的愛因斯坦場方程
: : G (∂ ∂ g ) = T (g )
: : μν μ ν σλ μν σλ
: : 這類的物理方程有更深一層的物理意義嗎？
: : 為什麼不是更高階？為什麼到二階就可以停了？
: : 謝謝
: 這個問題問得很好。
: 運動方程式是二階方程，
: 在Lagrange formulation的等價描述中只需要廣義座標和其對時間的一次微分。
: 白話一點的說，要描述一個運動只需要知道動能和位能，
: 而且動能和位能全部可以用位置和速度來描述。
: 又或是用Hamilton formulation來說，
: 要描述一個理論就只需要知道Hamiltonian如何用位置q和動量p來描述。
: 至於場方程式也是類似，但在古典場論中這種對應比較不明顯。
: 但正如板友所說，並沒有理由說不能有更高階項(起碼在古典物理的領域)
: 我們無法知道，
: 平常所用的只用位置和動量所描述的物理系統是否只是個更複雜的系統的近似。
: 到了量子力學，事情就有點不太一樣。
: 隨便引入高階微分項可能會破壞unitarity, locality或causality。
: 所以許多人大膽的猜測，描述基本作用力的理論必須是二階微分理論，
: 否則一個自洽的理論根本無法存在。
: (至於所謂的等效理論，例如核物理或凝態物理的理論，
: 我們本來就不要求它對所有的能量尺度都正確，
: 自然就比較不會有這方面的限制)
: 但弦論的出現又打破了這樣的信心。
: 如果用場論的角度來看弦論，它是個無窮次微分的理論。
: 一個合理的解釋是，這個無窮次微分是來自一個錯誤的假設，
: 也就是基本粒子(fundemental subject)是沒有長度的點。
: 但其實fundemental subject是有長度的弦，
: 為了從粒子的角度來描述弦必須對粒子的位置做泰勒展開，
: 所以最後成了無窮次微分理論。
: 如果一開始就以弦的角度寫下Lagrangian，
: 這個理論又會回到二次微分理論。
: 即使到今天，「基本作用力只能是二次微分」這個說法還是不斷受到挑戰
: 也有許多人成功寫下不會破壞unitarity, locality或causality的高階微分理論，
: 但是這些通常也都和弦論一樣有一個變通的二階微分理論的解釋。
: 而且這些理論都受到很嚴格的限制，處理起來要很小心。
: 所以如果要說二次微分理論有什麼特別的物理意義，
: 大概只能回答說物理世界的本質給了這些理論比較小的限制。
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◆ From: 71.233.151.96
推 xgcj:推! 05/22 08:39
推 Entropy1988:原來還有這種看法 05/22 09:20
我個人認為 這是所謂的“正解”
推 HDT:推 05/22 11:57
推 leo80042:推 05/22 12:19
推 spacetime:推! 05/22 12:29
→ bcov:這能説明 or 證明只要留下2次微分而不是3 or 1次微分嗎? 05/22 14:59
對我講的那三種理論三次微分是irrevelant.
關於一次微分項 Einstein eq.也有一次微分項
不過一般來講可以利用field redefinition 把一次微分項清除
→ bcov:不是基本粒子,KdV soliton eq is 3rd ODE 05/22 15:04
KdV eq 是integrable system 不是effective field theory
→ waddler:利用因次分析不難發現微分越多的項高能的時候會越大<-how? 05/22 17:00
以因次分析來講 微分就是除以長度 所以就是乘以能量
推 bcov:KdV is PDE not ODE. 費米基本粒子遵守一階 Dirac eq 05/22 17:05
費米基本粒子的Lagrangian是一階的 這也可以用effective field theory的角度解釋
Dirac field的因次是3/2所以比一次微分還高的項都是irrevelent
→ waddler:另有疑問: 是人們發現在這些能量範圍裡用二階微方來描述 05/22 17:22
→ waddler:比較符合實驗觀測 所以造成理論裡高階微分必須irrelavant 05/22 17:23
→ waddler:還是理論本身是基於某種原理建構 然後人們發現它很巧地會 05/22 17:26
→ waddler:在某個能量以下讓式子變成只有二階微方有用 並且符合實驗? 05/22 17:27
後者是對的
※ 編輯: sirhc 來自: 71.233.151.96 (05/22 22:56)
推 chendaolong:推！ 05/22 23:34
※ 編輯: sirhc 來自: 71.233.151.96 (05/22 23:49)