Re: [問題] equation of continuity(連續方程式)

[JohnMash (Paul)]

※ 引述《ed78617 (雞爪)》之銘言：
: 流力中的incompressible指的是流體密度與位置無關，然後由質量守恒，A1*v1=A2*v2
: 要怎麼對應到電荷守恒呢？

    看了各位的討論 我敘述一下我的看法
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 Case I.

    考慮流體在管內流動

    並且假設 管子的截面積=1 管中的流體其總質量不隨時間改變(即 steady state)

    則連續方程式 ρ1 v1 = ρ2 v2 (流進質量=流出質量)..............(1)

    如果用 J 表示

    J1=J2.........................................................(2)

    考慮管長為無窮短的情形

    d(ρv)=0......................................................(3)

    (dρ) v + ρ (dv) = 0.........................................(4)

    dJ=0..........................................................(5)

    這就是一般情形

    推廣到三維 ▽ρ‧v + ρ▽‧v =0................................(6)

               ▽‧J = 0...........................................(7)


    imcompressible fluid ▽ρ=0 then ▽‧v=0.............................(8)

                ▽‧J = 0..........................................(9)

    結論: J 可以是 compressible fluid 也可以是 incompressible fluid

          都有 ▽‧J = 0...........................................(10)

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 Case II.

    並且假設 管子的截面積=1 管中的流體其總質量隨時間改變(unsteady)

    則連續方程式 ρ1 v1 - ρ2 v2 = Δm/Δt (流進質量-流出質量=管中質量變化)

    如果用 J 表示

    J1-J2=Δm/Δt..................................................(11)

    then

    (dρ) v + ρ (dv) = -dρ / dt * dx..............................(12)

    dJ= -dρ/dt * dx................................................(13)

    這就是一般情形

    推廣到三維 ▽ρ‧v + ρ▽‧v =-P ρ / P t   (P means partial)....(14)

               ▽‧J = -P ρ/ P t....................................(15)


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.104.144.24
推 wohtp:你的 case 1 就是 incompressible 啊...
→ wohtp:你都假設密度不變了, 還能怎麼壓縮?
   我大概猜得出你的質疑
   假設 管子的截面積=1 管中的流體其總質量不隨時間改變
(1)所以 總體積不變 總質量不變 因此 密度不變?

   我的回答是 密度當然可以變 只是平均密度不變

(2)你大概要問 為什麼假設平均密度不隨時間改變?

   我的回答是 如果不喜歡這個假設 直接讀 Case II 即可

(3)你大概要問 為什麼可以假設 管子的截面積及體積不變?

   我的回答是 其實管子是普物的說法
   流力的推導方式是取control volume
   control volume 是想像的 並且可依問題的需要選取
   還請板上的流力高手 不吝指正

推 wohtp:我的意思是,平均密度不變,而管子縮短到只有一點,就是密度
→ wohtp:本身不變啊.
→ wohtp:都取極限到管子趨近一個點了,平均密度也就變成該點的密度了
   管子長為 dx≠0 (變量不為零)..........................(16)

   密度變化 dρ≠0 (應變量 in general 不為零)...........(17)

   速度變化 dv≠0 (應變量 in general 不為零)............(18)

   但是 密度乘以速度變化為零 d(ρv)=0 (連續方程式)......(19)

推 wohtp:您跳針了 = = 我的重點只是: 平均密度不變 + 長度趨近零 =
→ wohtp:不可壓縮  這樣子而已
→ wohtp:對於其它的部份我一點意見都沒有.
→ ntust661:可以考慮一下 Reynold Transpose Theorem
    我已將所有式子編號  還是請有心人不吝指正
    我的推導方式 並沒有引入 material derivative
    因為我所取的control volume 是固定在空間中的
    CaseI. 是steady的情形 (P ρ/P t)=0 (P means partial)
    但是對於是否為compressible均成立
    當然 如果流體是incompressible的話(incompressible fluid)
    根據定義(P ρ/P t)=(P ρ/P x)=(P ρ/P y)=(P ρ/P z)=0
    只需討論Case I.

    另外 須注意 incompressible flow 的定義是 ▽‧v =0

    由(8)式可知 incompressible fluid 必是 incompressible flow

    但是由(14)式可知

    ▽ρ‧v + ρ▽‧v =-P ρ / P t  ....(14)

    只要▽ρ‧v + P ρ / P t=0

    就是incompressible flow, 不必是 incompressible fluid

※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.170.154      (06/23 21:31)