作者realtemper (精彩不亮麗)
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標題Re: [題目] 幾題力學
時間Fri Jul 8 09:42:03 2011
※ 引述《ed78617 (雞爪)》之銘言：
: [領域] 力學 (題目相關領域)
: [來源] 文華高中100年教甄試題 (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]
: 這題沒頭緒...
: http://i212.photobucket.com/albums/cc4/ed78617/27.jpg
文長請耐心閱讀～
這題只要抓住「真正重要的座標只有θ一個」就不難算
▕\
據此，第一種做法如下： ▕ \ 質心座標(x,y)
▕θ\↙
假設θ為桿子與牆壁的夾角，θ ＝α＝30度 ▕ \
0 ▕ \
首先注意到能量守恆： ▕ \
￣￣￣￣￣￣
亦即重力位能釋放之後，變成移動動能+轉動動能
1 2 1 2 1 2 1 2 .2
mg(y －y) = ─ mv + ─ Iω = ─ mv + ─ mR θ ..................(1)
0 2 2 2 6
2 .2 .2 L
其中 v = x + y , R≡─, y ≡Rcosθ
2 0 0
利用幾何位置的 constraint
. .
╭ x＝Rsinθ ╭ x＝Rθcosθ .
┤ .....(2) → ┤ . . ....(2)
╰ y＝Rcosθ ╰ y＝-Rθsinθ
代入能量守恆，得到
2 .2
g(cosθ－cosθ) = － Rθ .............(3)（脫離點及脫離前皆適用）
0 3
:
注意題目只問"恰脫離牆壁"的狀況--也就是 x = 0
所以我們先把這個條件以 θ 座標描述：
.
把 x 再微分一次，得到
: .2
θcosθ＝θ sinθ ............(4)（適用於脫離點）
: .
利用(3)式與(4)式，逐次消去θ與θ就可以了。方法如下：
. 4 . : .
將 (3) 式微分一次 → gθsinθ = ─ Rθθ ......(3)
3
: 4 .2
與(4)式消去θ → gcosθ = ─ Rθ ........(5)
3
.2
再將(5)式代入(3)式消去θ
2R 3g
→ g(cosθ－cosθ) = ─ ─ cosθ
0 3 4R
2 1
→ cosθ = － cosθ = ──
3 0 √3 #
要算出答案是沒什麼，但這題的物理詮釋其實令人費解：
2 2 2
直觀來看，因為棒子的質心被限制在 x + y = R 的球面上（尚未脫離時）
所以這題跟「一質點從光滑球面上滑下」的狀況其實很類似
只是多了一項轉動動能
2
但是 cosθ = － cosθ 這個結果，竟然跟質點的case完全一樣
3 0
乍看之下其實讓我有點吃驚
因為從能量觀點來看，轉動動能會「吃掉」部份的質心速度
使得物體移動較慢，從而較不容易脫離球面才對，是故脫離角怎麼可能會一樣呢？
但我後來想到一個能量上的解釋：
2
1 mR 2 1 2 2
注意轉動動能 T ：移動動能 T 恆為 1:3 (─ ─ ω : ─ mR ω )
rot tr 2 3 2
也就是說，脫離前的任何一刻，移動自由度恆分得 3/4 的能量
3
因此質心的運動方式，似乎正等價於它面對了形式為 ─ mgy 的重力位能
4
2 2 2
以及 x + y = R 的 constraint 一樣。
所以事後想到的第二種作法，便是將原問題的移動部份分離出來，
看成一個從光滑球面上自由滑下的質點，且重力場強為 3g/4
3
▕ ↓g ▕ ↓─ g
▕ '':. ○ ▕ '':. ○ 4
▕ ': ▕ ':
▕ '. → ▕ '.
▕ : ▕ :
▕ . ▕ .
￣￣￣￣￣￣ ￣￣￣￣￣￣
T = T + T T = T only
cm tr rot cm tr
2
然後一樣算出 cosθ = － cosθ
3 0
（注意此結果與g值無關）
若要驗證 "3g/4" 解讀的合理性，我想到兩個層面
: : .2 :
1.注意到 y＝-R(θsinθ+θ cosθ).......(2-y)
在脫離點的時候，以上面 (3)-(5) 式的結果代進去
: 3
的確可以得到 y = - ─ g
4
注意此刻地板之正向力為 mg/4，它與重力 -mg 直接對抗
造成了質心移動動能的損失
換言之，在脫離之前的 constraint force 當中
此對抗力的係數 1/4，即為重力位能分配給轉動動能之比例。
當棒子從靜止慢慢落下、地板正向力也會慢慢減少，
等正向力掉到 mg/4 以下之時，便無法繼續維持 1:3 的能量分配
因此棒子的轉動動能將會「跟不上」移動動能
從而脫離 x^2 + y^2 = R^2 的表面。
此似可做為「脫離條件」的另一解讀。
2
2.把棒子換成任意的質量分配 (I = βmR ) 整個重算一遍
2
亦能得到 cosθ = ─ cosθ
3 0
: g
以及 y = - ─── (符合 T : T = 1 : β)
(1+β) tr rot
目前能想到的大致這樣了 歡迎補充＆謝謝收看
: 此題我知道可以用lagrangian來算，但是用牛頓力學的話，不知道怎麼做...
: http://i212.photobucket.com/albums/cc4/ed78617/2-1.jpg
: [瓶頸] (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
想像一下：
若在瞬間用你的神之左右手把懸垂繩子的質量全部集中於繩子與滑輪的交界處，
應該不會影響問題的答案吧！
這樣的話就很容易看清 I 本質上是什麼東西
繩
τ = I α = (I + I ) α
tot 輪 繩
2
→ (3/4 - 1/4) mgR = (I+mR ) α
秒殺
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◆ From: 114.27.2.233
→ realtemper:好久沒看到值得一回的(偽)高中題目了 ( ￣ c￣)y▂ξ 07/08 09:43
推 littlegod:寫的太好了~ 07/08 09:55
推 zealeliot:推 漂亮 07/08 10:03
推 kevin60405:實在太強大了 07/08 11:59
→ G41271:追根究柢的研究精神很棒 07/08 12:07
推 kevin60405:有個小小疑問 滑輪之所以會轉動 是因為繩子與滑輪間有 07/08 12:19
→ kevin60405:摩擦力 或著說是因為摩擦力產生的力矩 使滑輪轉動 07/08 12:20
→ kevin60405:可以直接用 兩端繩重差 當作力矩的來源嗎 07/08 12:21
→ kevin60405:雖然我考慮摩擦力算出來結果跟你一樣啦 07/08 12:21
→ realtemper:把"滑輪+繩子"整體看成一個系統，則摩擦力是系統內力， 07/08 13:50
→ realtemper:根本不用管它多大(只要確定摩擦力夠大 無滑動現象即可) 07/08 13:51
推 yjn145:很漂亮 07/08 14:16
推 deepwoody:推 07/08 16:47
推 ed78617:大推~ 07/08 18:52
→ ed78617:啊，順便問一下，為什麼可以將繩子質量集中於交界處，然後 07/08 18:54
→ ed78617:寫出等效的I繩？ 07/08 18:54
推 herbert570:因為繩子懸空的繩子力矩都是mgR 07/08 19:24
→ herbert570: 部分 07/08 19:24
推 binladn:太強了!!! 07/08 20:54
推 xgcj:推 花了很多心思吧! 07/08 20:59
→ realtemper:回ed:只要新系統跟原系統的行為一致 07/09 17:37
→ realtemper:那我為什麼不可以用新系統取代原系統？？ 07/09 17:37
推 Ertkkpoo:請問第1題第8行，為何v^2=x.^2+y.^2 ?是指說移動動能 07/10 15:04
→ Ertkkpoo:有分成水平+鉛直嗎?那麼會不會和旋轉動能部分重複算到呢? 07/10 15:05
推 herbert570:移動的是質心的動能 07/10 21:40
推 gaviniscool:推 07/12 20:17
推 red0210:推...太厲害了 07/13 03:48
推 ntust661:真的很佩服! 07/30 01:20
※ 編輯: realtemper 來自: 122.121.70.55 (08/11 02:57)
